Αναλογίες

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. §7.1 έως 7.3: Γεωμετρικά μεγέθη, διαίρεση τμήματος σε ν ίσα μέρη με παράλληλες ευθείες, γινόμενο τμήματος με ρητό αριθμό, λόγος σύμμετρων τμημάτων και ασύμμετρα τμήματα.
2. §7.4: Ανάλογα τμήματα α/β = γ/δ με άκρους και μέσους όρους, τέταρτη ανάλογος, συνεχής αναλογία και μέση ανάλογος.
3. §7.5: Το μήκος ενός τμήματος είναι ο λόγος του προς τη μονάδα μέτρησης. Ο λόγος δύο μηκών δεν αλλάζει αν αλλάξει η μονάδα.
4. §7.6: Ένα σημείο Μ της ευθείας ΑΒ διαιρεί το ΑΒ εσωτερικά ή εξωτερικά σε λόγο λ όταν ΜΑ/ΜΒ = λ. Για κάθε λ το σημείο είναι μοναδικό, ενώ για λ = 1 εξωτερικό σημείο δεν υπάρχει.
5. §7.7: Θεώρημα του Θαλή και το αντίστροφό του. Μια παράλληλη προς πλευρά τριγώνου σχηματίζει τρίγωνο με πλευρές ανάλογες προς το αρχικό. Κατασκευή τέταρτης αναλόγου, διαίρεση τμήματος σε δοσμένο λόγο, συζυγή αρμονικά σημεία.
6. §7.8: Η εσωτερική και η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας Α χωρίζουν τη ΒΓ σε λόγο ΑΒ/ΑΓ. Τα δύο ίχνη αποτελούν ζεύγος συζυγών αρμονικών των Β και Γ.
7. §7.9: Τα σημεία με ΜΑ/ΜΒ = λ ≠ 1 σχηματίζουν τον Απολλώνιο κύκλο, που έχει διάμετρο τα σημεία της εσωτερικής και της εξωτερικής διαίρεσης του ΑΒ σε λόγο λ. Για λ = 1 ο τόπος είναι η μεσοκάθετος.
8. Ιστορικό σημείωμα: η μέτρηση από τα φυσικά μέτρα ως την ανθυφαίρεση (αλγόριθμο του Ευκλείδη), η ανακάλυψη της ασυμμετρίας και η θεωρία αναλογιών του Ευδόξου.

Πρόσωπα

Θαλής

το θεώρημα των παραλλήλων φέρει το όνομά του

Απολλώνιος

μελέτησε πρώτος τον κύκλο του σταθερού λόγου

Ευκλείδης

στα «Στοιχεία» εκθέτει την ανθυφαίρεση

Εύδοξος ο Κνίδιος

γενική θεωρία των αναλογιών

Θεαίτητος

ανθυφαίρεση ως κριτήριο ασυμμετρίας

Πυθαγόρας

του αποδίδεται η ασυμμετρία της διαγωνίου

Αρχιμήδης

με τη μέθοδο της εξάντλησης βρήκε εμβαδά και όγκους

Όροι

γεωμετρικό μέγεθος

τμήμα, γωνία, τόξο, εμβαδόν, όγκος

σύμμετρα τμήματα

έχουν κοινό μέτρο

ασύμμετρα τμήματα

χωρίς κοινό μέτρο, λόγος άρρητος

κοινό μέτρο δύο τμημάτων

χωράει ακέραιες φορές και στα δύο

λόγος ΓΔ/ΑΒ

ο αριθμός q με ΓΔ = q·ΑΒ

αναλογία

ισότητα λόγων α/β = γ/δ

άκροι όροι της α/β = γ/δ

τα α και δ

μέσοι όροι της α/β = γ/δ

τα β και γ

τέταρτη ανάλογος των α, β, γ

το δ στην α/β = γ/δ

μέση ανάλογος των α, γ

το β με α/β = β/γ, δηλαδή β² = α·γ

μήκος τμήματος

ο λόγος του προς τη μονάδα μέτρησης

εσωτερική διαίρεση του ΑΒ σε λόγο λ

Μ μέσα στο ΑΒ με ΜΑ/ΜΒ = λ

εξωτερική διαίρεση του ΑΒ σε λόγο λ

Μ στην προέκταση με ΜΑ/ΜΒ = λ

θεώρημα του Θαλή

παράλληλες ορίζουν ανάλογα τμήματα

θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου

ΔΒ/ΔΓ = ΑΒ/ΑΓ

ΔΒ (Δ ίχνος διχοτόμου της Α)

αγ/(β + γ)

θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου

ΕΒ/ΕΓ = ΑΒ/ΑΓ, Ε στην προέκταση

συζυγή αρμονικά Γ, Δ των Α, Β

ΓΑ/ΓΒ = ΔΑ/ΔΒ

Απολλώνιος κύκλος

τόπος σημείων με ΜΑ/ΜΒ = λ ≠ 1

ανθυφαίρεση

ο αλγόριθμος του Ευκλείδη για κοινό μέτρο