Στερεά σχήματα

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. §13.1: Τρίεδρη και πολυεδρική γωνία, πολύεδρο με έδρες, ακμές, κορυφές και διαγώνιους, κυρτό πολύεδρο. Για κάθε απλό πολύεδρο ισχύει το θεώρημα του Euler Κ − Α + Ε = 2.
2. §13.2 και 13.3: Πρίσμα με δύο ίσες παράλληλες βάσεις και παράπλευρες έδρες παραλληλόγραμμα, ορθό και κανονικό πρίσμα, παραλληλεπίπεδο, ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο και κύβος. Η διαγώνιος του ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου δίνεται από δ² = α² + β² + γ², του κύβου δ = α√3.
3. §13.4: Επιφάνεια ορθού πρίσματος Επ = (περίμετρος βάσης)·υ και Εο = Επ + 2Β, με τη βοήθεια του αναπτύγματος. Όγκος ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου αβγ και κάθε πρίσματος Β·υ.
4. §13.5 έως 13.7: Πυραμίδα, τομή παράλληλη στη βάση όμοια με τη βάση, κανονική πυραμίδα με απόστημα, τετράεδρο. Επιφάνεια κανονικής πυραμίδας Επ = τ·μ, όγκος κάθε πυραμίδας ⅓·Β·υ.
5. §13.8 και 13.9: Κόλουρη πυραμίδα με δύο όμοιες βάσεις και τραπέζια για παράπλευρες έδρες. Για την ισοσκελή: Επ = (τ + τ')·υ' και V = υ(Β + β + √(Ββ))/3.
6. §13.10 έως 13.15: Στερεά εκ περιστροφής. Κύλινδρος από ορθογώνιο (Εκ = 2πρυ, V = πρ²υ), κώνος από ορθογώνιο τρίγωνο (Εκ = πρλ, V = ⅓·πρ²υ, ανάπτυγμα κυκλικός τομέας) και κόλουρος κώνος.
7. §13.16 έως 13.18: Σφαίρα ως στερεό εκ περιστροφής και ως γεωμετρικός τόπος, θέσεις επιπέδου και ευθείας ως προς σφαίρα, μέγιστος κύκλος. Με τα θεωρήματα του Πάππου: Ε = 4πρ² και V = (4/3)·πρ³.
8. §13.19: Κανονικά πολύεδρα με ίσες κανονικές έδρες και ίσες πολυεδρικές γωνίες. Υπάρχουν μόνο πέντε, τα Πλατωνικά στερεά, που ανά δύο είναι συζυγή. Ιστορικό σημείωμα για τον Πλάτωνα, τον Θεαίτητο, τον Ευκλείδη και τα Αρχιμήδεια στερεά.

Πρόσωπα

Euler

θεώρημα Κ − Α + Ε = 2 για τα πολύεδρα

Πάππος

θεωρήματα για επιφάνειες και όγκους εκ περιστροφής

Αρχιμήδης

πρώτος βρήκε όγκο και επιφάνεια σφαίρας, κώνου, κυλίνδρου

Πλάτων

συνέδεσε τα κανονικά πολύεδρα με τα στοιχεία του κόσμου

Θεαίτητος

του αποδίδεται η μελέτη οκταέδρου και εικοσαέδρου

Ευκλείδης

απέδειξε ότι τα κανονικά πολύεδρα είναι ακριβώς πέντε

Όροι

θεώρημα του Euler για πολύεδρα

Κ − Α + Ε = 2

παράπλευρες έδρες πρίσματος

παραλληλόγραμμα

διαγώνιος ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου

δ² = α² + β² + γ²

διαγώνιος κύβου ακμής α

α√3

παράπλευρη επιφάνεια ορθού πρίσματος

περίμετρος βάσης επί ύψος

όγκος πρίσματος

V = Β·υ

όγκος πυραμίδας

V = ⅓·Β·υ

κανονική πυραμίδα

κανονική βάση, κορυφή πάνω από το κέντρο

παράπλευρη επιφάνεια κανονικής πυραμίδας

τ·μ, ημιπερίμετρος επί απόστημα

όγκος κόλουρης πυραμίδας

υ(Β + β + √(Ββ))/3

κύλινδρος

ορθογώνιο που γυρίζει γύρω από μια πλευρά

κυρτή επιφάνεια κυλίνδρου

2πρυ

όγκος κυλίνδρου

πρ²υ

κώνος

ορθογώνιο τρίγωνο που γυρίζει σε κάθετη

κυρτή επιφάνεια κώνου

πρλ, με λ τη γενέτειρα

όγκος κώνου

⅓·πρ²υ

εμβαδόν επιφάνειας σφαίρας

4πρ²

όγκος σφαίρας

(4/3)·πρ³

μέγιστος κύκλος σφαίρας

τομή με επίπεδο που περνά από το κέντρο

κανονικά πολύεδρα (Πλατωνικά στερεά)

είναι μόνο πέντε