Από τη μέθοδο της εξάντλησης του Αρχιμήδη για το παραβολικό χωρίο και τον υπολογισμό του Wallis για τον κύκλο ως τον ορισμό του ολοκληρώματος από τον Riemann.
Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ15 ΛΕΠΤΑ
Το μάθημα είναι στο σχολικό βιβλίο. Δεν το αντιγράφουμε εδώ. Άνοιξε το επίσημο
κεφάλαιο και γύρνα για την εξάσκηση.
Η σύνοψη, οι όροι και οι ασκήσεις γράφτηκαν με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης από το
σχολικό βιβλίο και μπορεί να έχουν λάθη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο: ό,τι σου φαίνεται περίεργο,
έλεγξέ το εκεί. Βρήκες λάθος; Γράψε μας στο aporia@signmak.com.
Σχεδιάγραμμα
Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.
Τι έγινε
Ο υπολογισμός εμβαδών από καμπύλες απασχόλησε από την αρχαιότητα· οι ιδέες του Αρχιμήδη είναι η αφετηρία του ολοκληρωτικού λογισμού.
Ο Αρχιμήδης προσέγγισε το παραβολικό χωρίο με εγγεγραμμένα τρίγωνα· τα εμβαδά τους δίνουν γεωμετρική πρόοδο με λόγο 1/4.
Αποτέλεσμα: το παραβολικό χωρίο είναι τα 4/3 του τριγώνου ΟΑΒ, όπως γράφει στον «Τετραγωνισμό ορθογωνίου κώνου τομής».
Τον 17ο αιώνα φάνηκε ότι ο υπολογισμός εμβαδών είναι διαδικασία αντίστροφη της παραγώγισης.
Ο Wallis (1655) χώρισε την ακτίνα ημικυκλίου σε ίσα τμήματα, ύψωσε κάθετες και με «μετάβαση στο άπειρο» έδωσε νέο τύπο για το εμβαδό του κύκλου και για το π.
Τον 19ο αιώνα το ολοκλήρωμα ορίστηκε αυστηρά· ο Riemann (1854) το όρισε ως όριο αθροισμάτων ανεξάρτητο από την επιλογή των διαστημάτων και σημείων.
Πρόσωπα
Αρχιμήδης
εμβαδόν παραβολικού χωρίου με τη μέθοδο της εξάντλησης
Πώς βρήκε ο Αρχιμήδης το εμβαδόν του παραβολικού χωρίου;
Το «εξάντλησε» με εγγεγραμμένα τρίγωνα, των οποίων τα εμβαδά σχηματίζουν φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο με λόγο 1/4. Βρήκε ότι το εμβαδόν είναι τα 4/3 του τριγώνου με την ίδια βάση και κορυφή την κορυφή της παραβολής.
Απέφυγε ο Αρχιμήδης το άπειρο;
Ναι. Κατά το σημείωμα χρησιμοποίησε πεπερασμένο πλήθος όρων και απέκλεισε με απαγωγή σε άτοπο το να είναι το εμβαδόν μεγαλύτερο ή μικρότερο.
Ποιος έδωσε τον ορισμό του ολοκληρώματος που μαθαίνουμε στο σχολείο;
Ο Riemann το 1854, με όριο αθροισμάτων που δεν εξαρτάται από την επιλογή των υποδιαστημάτων και των ενδιάμεσων σημείων.
Ανοίγει το μενού κοινοποίησης του κινητού σου. Αν δεν υπάρχει, αντιγράφεται ο σύνδεσμος.
Νέα από το aporia.gr Νέες ενότητες και ό,τι βρίσκουμε στα θέματα των Πανελληνίων, στη σελίδα μας στο Facebook.