Πώς υπολογίζουμε με ορισμένο ολοκλήρωμα το εμβαδόν χωρίου κάτω από μια καμπύλη, ανάμεσα σε δύο καμπύλες, κάτω από τον άξονα x′x και όταν η διαφορά f − g αλλάζει πρόσημο.
Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΕΝΟΤΗΤΑ 315 ΛΕΠΤΑ
Το μάθημα είναι στο σχολικό βιβλίο. Δεν το αντιγράφουμε εδώ. Άνοιξε το επίσημο
κεφάλαιο και γύρνα για την εξάσκηση.
Η σύνοψη, οι όροι και οι ασκήσεις γράφτηκαν με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης από το
σχολικό βιβλίο και μπορεί να έχουν λάθη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο: ό,τι σου φαίνεται περίεργο,
έλεγξέ το εκεί. Βρήκες λάθος; Γράψε μας στο aporia@signmak.com.
Σχεδιάγραμμα
Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.
Τι έγινε
Για f συνεχή και f ≥ 0 στο [α, β], το εμβαδόν ανάμεσα στην Cf, τον x′x και τις x = α, x = β είναι ∫(α→β) f(x)dx.
Για f ≥ g στο [α, β], το εμβαδόν ανάμεσα στις Cf, Cg και τις x = α, x = β είναι ∫(α→β) (f(x) − g(x))dx.
Ο τύπος ισχύει χωρίς την υπόθεση f, g ≥ 0: μετατοπίζουμε και τις δύο κατά c προς τα πάνω και το εμβαδόν δεν αλλάζει.
Αν g ≤ 0 στο [α, β], το εμβαδόν ανάμεσα στην Cg και τον x′x είναι −∫(α→β) g(x)dx.
Αν η f − g δεν διατηρεί πρόσημο, χωρίζουμε στα σημεία όπου μηδενίζεται και προσθέτουμε: E(Ω) = ∫(α→β) |f(x) − g(x)|dx.
Το ∫(α→β) f(x)dx είναι το εμβαδόν πάνω από τον x′x μείον το εμβαδόν κάτω από αυτόν.
Με την ίδια μέθοδο ο κυκλικός δίσκος ακτίνας ρ έχει εμβαδόν πρ² και η έλλειψη με ημιάξονες α, β έχει παβ.