Θεώρημα μέσης τιμής του ολοκληρωτικού λογισμού

Το θεώρημα μέσης τιμής για ολοκληρώματα: μια συνεχής συνάρτηση παίρνει σε κάποιο σημείο τη μέση τιμή της, με γεωμετρική ερμηνεία ως ύψος ορθογωνίου.

Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 315 ΛΕΠΤΑ

Το μάθημα είναι στο σχολικό βιβλίο. Δεν το αντιγράφουμε εδώ. Άνοιξε το επίσημο κεφάλαιο και γύρνα για την εξάσκηση.

Άνοιγμα βιβλίου

Η σύνοψη, οι όροι και οι ασκήσεις γράφτηκαν με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης από το σχολικό βιβλίο και μπορεί να έχουν λάθη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο: ό,τι σου φαίνεται περίεργο, έλεγξέ το εκεί. Βρήκες λάθος; Γράψε μας στο aporia@signmak.com.

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

Αποδεικνύεται με το θεμελιώδες θεώρημα και το Θ.Μ.Τ. του διαφορικού λογισμού, εφαρμοσμένο στην F(x) = ∫(α→x) f(t)dt.
Θεώρημα: f συνεχής στο [α, β] ⇒ υπάρχει ξ ∈ (α, β) με ∫(α→β) f(x)dx = f(ξ)(β − α).
Ο αριθμός f(ξ) = (1/(β − α))∫(α→β) f(x)dx λέγεται μέση τιμή της f στο [α, β] και γράφεται f̄.
Για μη αρνητική f, η f̄ είναι το ύψος ορθογωνίου με βάση [α, β] που καλύπτει όσο εμβαδό και το χωρίο κάτω από την Cf.

Όροι

Θ.Μ.Τ. ολοκληρωτικού λογισμού: ∫(α→β) f(x)dx = f(ξ)(β − α)
ξ στο Θ.Μ.Τ. ολοκληρωτικού: ανήκει στο ανοικτό (α, β)
προϋπόθεση: f συνεχής στο [α, β]
μέση τιμή f̄ στο [α, β]: (1/(β − α))·∫(α→β) f(x)dx
f̄ γεωμετρικά (f ≥ 0): ύψος ορθογωνίου ίσου εμβαδού
απόδειξη Θ.Μ.Τ. ολοκληρωτικού: Θ.Μ.Τ. διαφορικού στην ∫(α→x) f
F′(x) στην απόδειξη: f(x), με F(x) = ∫(α→x) f(t)dt
βάση του ορθογωνίου της f̄: το διάστημα [α, β]
ύψος του ορθογωνίου: η μέση τιμή f̄
f̄ ως λόγος: ολοκλήρωμα διά μήκος β − α

ΠΑΙΞΕ ΤΟΤηλεπαιχνίδι · Η Σκάλα · Η Τελεία · Κρεμάλα · Ζευγάρια · όλα με την ύλη αυτού του μαθήματος.

Εξάσκηση

Συχνές απορίες

Τι λέει το θεώρημα μέσης τιμής του ολοκληρωτικού λογισμού;

Αν η f είναι συνεχής στο [α, β], υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ (α, β) με ∫(α→β) f(x)dx = f(ξ)(β − α).

Τι είναι η μέση τιμή μιας συνάρτησης σε διάστημα;

Ο αριθμός f̄ = (1/(β − α))·∫(α→β) f(x)dx, δηλαδή το ολοκλήρωμα διά το μήκος του διαστήματος.

Τι σημαίνει γεωμετρικά η μέση τιμή;

Για f ≥ 0, είναι το ύψος του ορθογωνίου με βάση το [α, β] που έχει εμβαδόν ίσο με το χωρίο κάτω από την Cf.

Ανοίγει το μενού κοινοποίησης του κινητού σου. Αν δεν υπάρχει, αντιγράφεται ο σύνδεσμος.

Νέα από το aporia.gr Νέες ενότητες και ό,τι βρίσκουμε στα θέματα των Πανελληνίων, στη σελίδα μας στο Facebook.

Ακολούθησε Κοινοποίησε τη σελίδα