απορία; ΟΤΑΝ ΕΧΕΙΣ ΑΠΟΡΙΑ
3.5

Η συνάρτηση F(x) = ∫(α→x) f(t)dt

Η συνάρτηση F(x) = ∫(α→x) f(t)dt ως παράγουσα μιας συνεχούς f, το θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού και ο υπολογισμός ορισμένων ολοκληρωμάτων με παράγουσες.

Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 315 ΛΕΠΤΑ

Το μάθημα είναι στο σχολικό βιβλίο. Δεν το αντιγράφουμε εδώ. Άνοιξε το επίσημο κεφάλαιο και γύρνα για την εξάσκηση.

Άνοιγμα βιβλίου

Η σύνοψη, οι όροι και οι ασκήσεις γράφτηκαν με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης από το σχολικό βιβλίο και μπορεί να έχουν λάθη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο: ό,τι σου φαίνεται περίεργο, έλεγξέ το εκεί. Βρήκες λάθος; Γράψε μας στο aporia@signmak.com.

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

  1. Ο υπολογισμός ενός ολοκληρώματος από τον ορισμό είναι κοπιαστικός· το θεμελιώδες θεώρημα δίνει άλλο δρόμο.
  2. Αν η f είναι συνεχής σε διάστημα Δ και α ∈ Δ, η F(x) = ∫(α→x) f(t)dt είναι παράγουσα της f στο Δ: (∫(α→x) f(t)dt)′ = f(x).
  3. Θεμελιώδες θεώρημα: f συνεχής στο [α, β], G παράγουσα της f ⇒ ∫(α→β) f(t)dt = G(β) − G(α).
  4. Η απόδειξη: G(x) = F(x) + c, για x = α βρίσκουμε c = G(α), και για x = β προκύπτει το αποτέλεσμα.
  5. Η διαφορά G(β) − G(α) γράφεται σύντομα [G(x)] από α ως β.
  6. Κατά παράγοντες: ∫(α→β) fg′dx = [fg] από α ως β − ∫(α→β) f′g dx.
  7. Με αλλαγή μεταβλητής: ∫(α→β) f(g(x))g′(x)dx = ∫(u₁→u₂) f(u)du, όπου u = g(x), u₁ = g(α), u₂ = g(β).

Όροι

F(x) = ∫(α→x) f(t)dt, f συνεχής
παράγουσα της f στο Δ
(∫(α→x) f(t)dt)′
f(x)
θεμελιώδες θεώρημα ολοκλ. λογισμού
∫(α→β) f(t)dt = G(β) − G(α)
G στο θεμελιώδες θεώρημα
παράγουσα της f στο [α, β]
[G(x)] από α ως β
G(β) − G(α)
κατά παράγοντες (ορισμένο)
[fg] από α ως β − ∫(α→β) f′g dx
αλλαγή μεταβλητής
u = g(x), du = g′(x)dx
νέα όρια στην αλλαγή μεταβλητής
u₁ = g(α), u₂ = g(β)
σύνδεση διαφορικού και ολοκληρωτικού
μέσω της F(x) = ∫(α→x) f(t)dt
συνεχής f σε διάστημα
έχει παράγουσα, την ∫(α→x) f(t)dt

ΠΑΙΞΕ ΤΟΤηλεπαιχνίδι · Η Σκάλα · Η Τελεία · Κρεμάλα · Ζευγάρια · όλα με την ύλη αυτού του μαθήματος.

Εξάσκηση

Συχνές απορίες

Τι λέει το θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού;

Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] και G μια παράγουσά της εκεί, τότε ∫(α→β) f(t)dt = G(β) − G(α). Έτσι υπολογίζουμε ολοκληρώματα χωρίς τον ορισμό.

Γιατί εισάγεται η συνάρτηση F(x) = ∫(α→x) f(t)dt;

Γιατί για συνεχή f σε διάστημα Δ είναι μια παράγουσα της f, F′(x) = f(x), και με αυτήν αποδεικνύεται το θεμελιώδες θεώρημα, που συνδέει διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό.

Πώς γράφεται η ολοκλήρωση κατά παράγοντες σε ορισμένο ολοκλήρωμα;

∫(α→β) f(x)g′(x)dx = [f(x)g(x)] από α ως β − ∫(α→β) f′(x)g(x)dx, με f′, g′ συνεχείς στο [α, β].

Ανοίγει το μενού κοινοποίησης του κινητού σου. Αν δεν υπάρχει, αντιγράφεται ο σύνδεσμος.

Νέα από το aporia.gr Νέες ενότητες και ό,τι βρίσκουμε στα θέματα των Πανελληνίων, στη σελίδα μας στο Facebook.

ΑκολούθησεΚοινοποίησε τη σελίδα