Από το εμβαδόν του παραβολικού χωρίου με αθροίσματα ορθογωνίων στον ορισμό του εμβαδού και του ορισμένου ολοκληρώματος ως όριο αθροίσματος Riemann, με τις βασικές του ιδιότητες.
Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑΕΝΟΤΗΤΑ 315 ΛΕΠΤΑ
Το μάθημα είναι στο σχολικό βιβλίο. Δεν το αντιγράφουμε εδώ. Άνοιξε το επίσημο
κεφάλαιο και γύρνα για την εξάσκηση.
Η σύνοψη, οι όροι και οι ασκήσεις γράφτηκαν με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης από το
σχολικό βιβλίο και μπορεί να έχουν λάθη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο: ό,τι σου φαίνεται περίεργο,
έλεγξέ το εκεί. Βρήκες λάθος; Γράψε μας στο aporia@signmak.com.
Σχεδιάγραμμα
Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.
Τι έγινε
Το εμβαδόν κάτω από την y = x² στο [0, 1] προσεγγίζεται από κάτω και από πάνω με αθροίσματα εμβαδών ορθογωνίων, και τα δύο αθροίσματα έχουν το ίδιο όριο καθώς ν → ∞.
Για συνεχή f ≥ 0 στο [α, β], το εμβαδόν E(Ω) του χωρίου κάτω από την Cf ορίζεται ως το όριο του Σ f(ξκ)Δx, που υπάρχει και δεν εξαρτάται από τα ξκ.
Για συνεχή f στο [α, β], το όριο του αθροίσματος Riemann Sν = Σ f(ξκ)Δx είναι το ορισμένο ολοκλήρωμα ∫(α→β) f(x)dx.
Το ∫ είναι επιμήκυνση του S της λέξης Summa (Leibniz)· α και β είναι τα όρια ολοκλήρωσης και η μεταβλητή x μπορεί να αλλάξει γράμμα.
Επέκταση: ∫(α→β) f = −∫(β→α) f και ∫(α→α) f = 0· επίσης ∫(α→β) c dx = c(β − α).
Αν f ≥ 0 στο [α, β], το ολοκλήρωμα είναι το εμβαδόν E(Ω) ≥ 0.
Γραμμικότητα: ∫(λf + μg) = λ∫f + μ∫g· προσθετικότητα: ∫(α→β) f = ∫(α→γ) f + ∫(γ→β) f.
Αν f συνεχής, f ≥ 0 στο [α, β] και όχι παντού 0, τότε ∫(α→β) f(x)dx > 0.
Πώς ορίζεται το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς f στο [α, β];
Χωρίζουμε το [α, β] σε ν ίσα υποδιαστήματα πλάτους Δx = (β − α)/ν, διαλέγουμε ένα ξκ σε καθένα και παίρνουμε το όριο του αθροίσματος Sν = Σ f(ξκ)Δx καθώς ν → ∞. Το όριο υπάρχει και δεν εξαρτάται από τα ξκ.
Τι σχέση έχει το ορισμένο ολοκλήρωμα με το εμβαδόν;
Αν f(x) ≥ 0 στο [α, β], το ∫(α→β) f(x)dx είναι το εμβαδόν του χωρίου ανάμεσα στην Cf, τον x′x και τις ευθείες x = α, x = β.
Ποια είναι η διαφορά ορισμένου και αόριστου ολοκληρώματος;
Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι ένας πραγματικός αριθμός, ενώ το αόριστο είναι σύνολο συναρτήσεων (όλες οι παράγουσες).
Ανοίγει το μενού κοινοποίησης του κινητού σου. Αν δεν υπάρχει, αντιγράφεται ο σύνδεσμος.
Νέα από το aporia.gr Νέες ενότητες και ό,τι βρίσκουμε στα θέματα των Πανελληνίων, στη σελίδα μας στο Facebook.