Διαφορικές εξισώσεις

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Διαφορική εξίσωση: περιέχει τη x, άγνωστη συνάρτηση y = f(x) και παραγώγους της· π.χ. y′ = 2x, y′ = 2y, y″ + y = 0.
2. Τάξη είναι η μεγαλύτερη τάξη παραγώγου· λύση κάθε συνάρτηση που την επαληθεύει, γενική λύση το σύνολο των λύσεων.
3. Με αρχική συνθήκη y₀ = f(x₀) βρίσκουμε από τη γενική λύση τη συγκεκριμένη λύση.
4. Χωριζόμενες μεταβλητές: α(y)·y′ = β(x), που γράφεται α(y)dy = β(x)dx και δίνει A(y) = B(x) + c.
5. Νόμος αύξησης πληθυσμού: P′(t) = αP(t) με P(0) = P₀ δίνει P(t) = P₀e^(αt).
6. Γραμμική πρώτης τάξεως: y′ + α(x)y = β(x)· πολλαπλασιάζουμε με e^A(x), A παράγουσα της α, και φτάνουμε στο y·e^A(x) = B(x) + c.

Όροι

διαφορική εξίσωση

περιέχει x, y = f(x) και παραγώγους

τάξη διαφορικής εξίσωσης

η μεγαλύτερη τάξη παραγώγου

λύση διαφορικής εξίσωσης

συνάρτηση που την επαληθεύει

γενική λύση

το σύνολο όλων των λύσεων

αρχική συνθήκη

y₀ = f(x₀), δίνει μία λύση

γενική λύση της y′ = 2x

y = x² + c

χωριζόμενες μεταβλητές

α(y)·y′ = β(x)

λύση με χωριζόμενες μεταβλητές

A(y) = B(x) + c

P′(t) = αP(t), P(0) = P₀

P(t) = P₀e^(αt)

γραμμική 1ης τάξεως

y′ + α(x)y = β(x)

πολλαπλασιαστής γραμμικής

e^A(x), A παράγουσα της α

F = m·y″

διαφορική εξίσωση κίνησης