Μέθοδοι ολοκλήρωσης

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Ο πίνακας αόριστων ολοκληρωμάτων δεν αρκεί για κάθε συνάρτηση· χρειάζονται μέθοδοι ολοκλήρωσης.
2. Κατά παράγοντες: ∫ f(x)g′(x)dx = f(x)g(x) − ∫ f′(x)g(x)dx, συνέπεια του κανόνα γινομένου.
3. Η επιλογή των ρόλων μετράει: αν το νέο ολοκλήρωμα βγαίνει πιο σύνθετο, αλλάζουμε ποιος παράγοντας παραγωγίζεται.
4. Με την ίδια μέθοδο υπολογίζονται ολοκληρώματα πολυωνύμου επί eᵃˣ, επί ημαx ή συναx, επί ln x, και eᵃˣ επί ημβx ή συνβx.
5. Με αντικατάσταση: ∫ f(g(x))g′(x)dx = ∫ f(u)du με u = g(x), du = g′(x)dx, συνέπεια του κανόνα της σύνθετης.
6. Ρητές συναρτήσεις με παρονομαστή αx² + βx + γ και Δ > 0 γράφονται ως άθροισμα απλών κλασμάτων· αν ο αριθμητής έχει βαθμό ≥ 2, προηγείται διαίρεση.

Όροι

ολοκλήρωση κατά παράγοντες

∫ fg′dx = fg − ∫ f′g dx

προέλευση κατά παράγοντες

κανόνας παραγώγισης γινομένου

ολοκλήρωση με αντικατάσταση

∫ f(g(x))g′(x)dx = ∫ f(u)du

u στην αντικατάσταση

u = g(x), du = g′(x)dx

προέλευση αντικατάστασης

κανόνας παραγώγισης σύνθετης

P(x)·eᵃˣ

ολοκληρώνεται κατά παράγοντες

P(x)·ln x

ολοκληρώνεται κατά παράγοντες

eᵃˣ·ημβx

κατά παράγοντες δύο φορές

απλά κλάσματα

A/(x − ρ₁) + B/(x − ρ₂)

αριθμητής βαθμού ≥ 2

πρώτα διαίρεση πολυωνύμων