Αόριστο ολοκλήρωμα

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Πολλά προβλήματα ζητούν την αντίστροφη πορεία της παραγώγισης: δίνεται f και ζητείται F με F′(x) = f(x) σε διάστημα Δ.
2. Μια F λέγεται παράγουσα (ή αρχική συνάρτηση) της f στο Δ όταν είναι παραγωγίσιμη εκεί και F′(x) = f(x) για κάθε x ∈ Δ.
3. Κάθε συνεχής συνάρτηση σε διάστημα έχει παράγουσα σε αυτό.
4. Όταν η F είναι μία παράγουσα, όλες οι G(x) = F(x) + c είναι παράγουσες, και κάθε παράγουσα έχει αυτή τη μορφή.
5. Παράγουσες βασικών συναρτήσεων: του 0 η c, του 1 η x + c, του 1/x η ln|x| + c, του xᵃ (α ≠ −1) η xᵃ⁺¹/(α + 1) + c, του συνx η ημx + c, του ημx η −συνx + c, του eˣ η eˣ + c, του αˣ η αˣ/lnα + c.
6. Αν F, G παράγουσες των f, g και λ πραγματικός, η F + G είναι παράγουσα της f + g και η λF της λf.
7. Με μια αρχική συνθήκη (π.χ. f(2) = 3) προσδιορίζεται η σταθερά c και βρίσκεται μία συγκεκριμένη παράγουσα.

Όροι

παράγουσα F της f στο Δ

F′(x) = f(x) για κάθε x ∈ Δ

όλες οι παράγουσες της f

F(x) + c, c ∈ R

συνεχής f σε διάστημα

έχει παράγουσα σε αυτό

παράγουσα του 0

c

παράγουσα του 1

x + c

παράγουσα του 1/x

ln|x| + c

παράγουσα του xᵃ, α ≠ −1

xᵃ⁺¹/(α + 1) + c

παράγουσα του συνx

ημx + c

παράγουσα του ημx

−συνx + c

παράγουσα του 1/συν²x

εφx + c

παράγουσα του 1/ημ²x

−σφx + c

παράγουσα του eˣ

eˣ + c

παράγουσα του αˣ

αˣ/lnα + c

F, G παράγουσες των f, g

F + G παράγουσα της f + g

θέση από ταχύτητα

S είναι παράγουσα της υ