Ιστορικό σημείωμα: η έννοια της παραγώγου

Από την εφαπτομένη των αρχαίων Ελλήνων και τις αλγεβρικές μεθόδους του 17ου αιώνα στους κανόνες των Newton και Leibniz και στον αυστηρό ορισμό της παραγώγου από τον Cauchy.

Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 15 ΛΕΠΤΑ

Το μάθημα είναι στο σχολικό βιβλίο. Δεν το αντιγράφουμε εδώ. Άνοιξε το επίσημο κεφάλαιο και γύρνα για την εξάσκηση.

Άνοιγμα βιβλίου

Η σύνοψη, οι όροι και οι ασκήσεις γράφτηκαν με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης από το σχολικό βιβλίο και μπορεί να έχουν λάθη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο: ό,τι σου φαίνεται περίεργο, έλεγξέ το εκεί. Βρήκες λάθος; Γράψε μας στο aporia@signmak.com.

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

Οι αρχαίοι Έλληνες έβλεπαν την εφαπτομένη ως ευθεία με ένα μόνο κοινό σημείο με την καμπύλη και την κατασκεύαζαν γεωμετρικά για κύκλο και κωνικές.
Ο Αρχιμήδης, με κινηματικές μεθόδους, κατασκεύασε την εφαπτομένη της έλικας του Αρχιμήδη.
Τον 17ο αιώνα η Άλγεβρα εφαρμόστηκε στη γεωμετρία: η εφαπτομένη της παραβολής βρισκόταν με ένα γειτονικό σημείο, απειροελάχιστη μεταβολή h και μετά h = 0.
Newton και Leibniz μετέτρεψαν την παραγώγιση σε κανόνες και σύμβολα· ο Leibniz έγραφε dx, dy και dy/dx.
Ο Leibniz το 1677 έδωσε μια πρώιμη μορφή του κανόνα γινομένου: d(xy) = x dy + y dx.
Ο Cauchy (1823) όρισε αυστηρά την παράγωγο ως όριο του πηλίκου διαφορών, απέδειξε τους κανόνες, και έδωσε απόδειξη για τη σύνθετη συνάρτηση με ένα αδύνατο σημείο (όταν Δy = 0).

Πρόσωπα

Αρχιμήδης: εφαπτομένη της έλικας του Αρχιμήδη
I. Newton: πρωτοπόρος στους κανόνες παραγώγισης
G. Leibniz: σύμβολα dx, dy/dx, κανόνας γινομένου (1677)
A.L. Cauchy: πρώτος αυστηρός ορισμός παραγώγου (1823)

Όροι

εφαπτομένη κατά τους αρχαίους: ευθεία με ένα κοινό σημείο, χωρίς τομή
κωνικές τομές: έλλειψη, παραβολή, υπερβολή
έλικα του Αρχιμήδη: εφαπτομένη της με κινηματική μέθοδο
dx (Leibniz): διαφορικό του x, απειροελάχιστη μεταβολή
διαφορικός συντελεστής: παλιό όνομα της παραγώγου
d(xy): x dy + y dx (Leibniz, 1677)
dy/dx: σύμβολο παραγώγου, όχι πηλίκο
παράγωγος συνάρτηση (Cauchy): όριο του πηλίκου διαφορών, y′ ή f′(x)

ΠΑΙΞΕ ΤΟΤηλεπαιχνίδι · Η Σκάλα · Η Τελεία · Κρεμάλα · Ζευγάρια · όλα με την ύλη αυτού του μαθήματος.

Εξάσκηση

Συχνές απορίες

Πώς όριζαν οι αρχαίοι Έλληνες την εφαπτομένη;

Ως ευθεία με ένα μόνο κοινό σημείο με την καμπύλη, χωρίς να την τέμνει. Έτσι κατασκεύαζαν εφαπτομένες σε κύκλο και κωνικές τομές· ο Αρχιμήδης βρήκε και την εφαπτομένη της έλικας που φέρει το όνομά του.

Ποιος καθιέρωσε το σύμβολο dy/dx;

Ο Leibniz, που έγραφε dx για την απειροελάχιστη μεταβολή του x. Το σύμβολο κρατήθηκε ως σήμερα, χωρίς να σημαίνει πηλίκο.

Πότε δόθηκε ο πρώτος αυστηρός ορισμός της παραγώγου;

Το 1823 από τον Cauchy, με βάση την έννοια του ορίου· αυτός έδωσε και τον συμβολισμό με τόνο, y′ ή f′(x).

Ανοίγει το μενού κοινοποίησης του κινητού σου. Αν δεν υπάρχει, αντιγράφεται ο σύνδεσμος.

Νέα από το aporia.gr Νέες ενότητες και ό,τι βρίσκουμε στα θέματα των Πανελληνίων, στη σελίδα μας στο Facebook.

Ακολούθησε Κοινοποίησε τη σελίδα