Ασύμπτωτες, κανόνες de l'Hospital

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Η x = x₀ είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της Cf αν ένα από τα πλευρικά όρια στο x₀ είναι +∞ ή −∞.
2. Η y = ℓ είναι οριζόντια ασύμπτωτη στο +∞ (ή −∞) αν lim f(x) = ℓ καθώς x → +∞ (ή −∞).
3. Η y = λx + β είναι ασύμπτωτη στο +∞ αν lim [f(x) − (λx + β)] = 0· οριζόντια για λ = 0, πλάγια για λ ≠ 0.
4. Θεώρημα: η y = λx + β είναι ασύμπτωτη στο +∞ αν και μόνο αν lim f(x)/x = λ ∈ R και lim [f(x) − λx] = β ∈ R.
5. Πολυωνυμικές βαθμού ≥ 2 δεν έχουν ασύμπτωτες· ρητές με βαθμό αριθμητή κατά 2 ή περισσότερο μεγαλύτερο δεν έχουν πλάγιες.
6. Ασύμπτωτες ψάχνουμε στα ανοικτά άκρα του πεδίου ορισμού, σε σημεία ασυνέχειας και στο ±∞.
7. Κανόνες de l'Hospital: για μορφή 0/0 ή ±∞/±∞, με x₀ ∈ R ∪ {−∞, +∞}, αν υπάρχει το lim f′/g′, τότε lim f/g = lim f′/g′· ισχύουν και για πλευρικά όρια και εφαρμόζονται ξανά αν χρειάζεται.

Όροι

κατακόρυφη ασύμπτωτη x = x₀

πλευρικό όριο στο x₀ ίσο με ±∞

οριζόντια ασύμπτωτη y = ℓ

lim f(x) = ℓ στο +∞ ή στο −∞

ασύμπτωτη y = λx + β στο +∞

lim [f(x) − (λx + β)] = 0

πλάγια ασύμπτωτη

y = λx + β με λ ≠ 0

λ της ασύμπτωτης

lim f(x)/x, x → ±∞

β της ασύμπτωτης

lim [f(x) − λx], x → ±∞

πολυωνυμική βαθμού ≥ 2

δεν έχει ασύμπτωτες

πού ψάχνουμε ασύμπτωτες

ανοικτά άκρα, ασυνέχειες, ±∞

κανόνας de l'Hospital

lim f/g = lim f′/g′

προϋπόθεση de l'Hospital

μορφή 0/0 ή ±∞/±∞

lim f′/g′ στον de l'Hospital

πρέπει να υπάρχει, πεπερασμένο ή άπειρο

x₀ στον de l'Hospital

x₀ ∈ R ∪ {−∞, +∞}