Κυρτότητα, σημεία καμπής συνάρτησης

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Το πρόσημο της f′ δεν αρκεί για να σχεδιάσουμε μια γραφική παράσταση· χρειάζεται και ο τρόπος που «λυγίζει» η καμπύλη.
2. Η f είναι κυρτή (στρέφει τα κοίλα άνω) στο Δ αν η f′ είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του, κοίλη (στρέφει τα κοίλα κάτω) αν η f′ είναι γνησίως φθίνουσα.
3. Σε κυρτή f η εφαπτομένη βρίσκεται κάτω από την Cf, σε κοίλη πάνω, εκτός από το σημείο επαφής.
4. Αν f″ > 0 στο εσωτερικό του Δ η f είναι κυρτή, αν f″ < 0 κοίλη· το αντίστροφο δεν ισχύει (x⁴).
5. Σημείο καμπής: η f αλλάζει κυρτότητα στο x₀ και η Cf έχει εφαπτομένη στο A(x₀, f(x₀)).
6. Αν το A είναι σημείο καμπής και η f δύο φορές παραγωγίσιμη, τότε f″(x₀) = 0.
7. Πιθανές θέσεις σημείων καμπής: εσωτερικά σημεία με f″ = 0 ή χωρίς f″· σημείο καμπής είναι όπου η f″ αλλάζει πρόσημο και υπάρχει εφαπτομένη.

Όροι

κυρτή f στο Δ

f′ γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό

κοίλη f στο Δ

f′ γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό

f″ > 0 στο εσωτερικό του Δ

f κυρτή στο Δ

f″ < 0 στο εσωτερικό του Δ

f κοίλη στο Δ

εφαπτομένη κυρτής f

κάτω από την Cf

εφαπτομένη κοίλης f

πάνω από την Cf

f(x) = x⁴

κυρτή στο R, αν και f″(0) = 0

σημείο καμπής

αλλαγή κυρτότητας και εφαπτομένη

στο σημείο καμπής (f δύο φορές παρ.)

f″(x₀) = 0

πιθανές θέσεις σημείων καμπής

f″ = 0 ή f″ δεν υπάρχει

εφαπτομένη στο σημείο καμπής

διαπερνά την καμπύλη

f(x) = x³

κοίλη στο (−∞, 0], κυρτή στο [0, +∞)