Τοπικά ακρότατα συνάρτησης

Τοπικά μέγιστα και ελάχιστα, το θεώρημα του Fermat, τα κρίσιμα σημεία, το κριτήριο με το πρόσημο της f′ και η εύρεση μέγιστης και ελάχιστης τιμής σε κλειστό διάστημα.

Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 215 ΛΕΠΤΑ

Το μάθημα είναι στο σχολικό βιβλίο. Δεν το αντιγράφουμε εδώ. Άνοιξε το επίσημο κεφάλαιο και γύρνα για την εξάσκηση.

Άνοιγμα βιβλίου

Η σύνοψη, οι όροι και οι ασκήσεις γράφτηκαν με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης από το σχολικό βιβλίο και μπορεί να έχουν λάθη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο: ό,τι σου φαίνεται περίεργο, έλεγξέ το εκεί. Βρήκες λάθος; Γράψε μας στο aporia@signmak.com.

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

Τοπικό μέγιστο στο x₀: υπάρχει δ > 0 με f(x) ≤ f(x₀) για κάθε x ∈ A ∩ (x₀ − δ, x₀ + δ)· τοπικό ελάχιστο με f(x) ≥ f(x₀).
Τα τοπικά μέγιστα και ελάχιστα είναι τα τοπικά ακρότατα· κάποιο τοπικό μέγιστο μπορεί να βρίσκεται χαμηλότερα από κάποιο τοπικό ελάχιστο, και το μεγαλύτερο τοπικό μέγιστο δεν είναι πάντα ολικό.
Θεώρημα Fermat: ακρότατο σε εσωτερικό σημείο x₀ όπου η f παραγωγίζεται ⇒ f′(x₀) = 0.
Πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων: εσωτερικά σημεία με f′ = 0, εσωτερικά σημεία όπου η f δεν παραγωγίζεται, και τα άκρα του διαστήματος.
Κρίσιμα σημεία είναι τα εσωτερικά σημεία όπου η f′ είναι 0 ή δεν υπάρχει.
Κριτήριο: η f συνεχής στο x₀· αν η f′ αλλάζει από θετική σε αρνητική, το f(x₀) είναι τοπικό μέγιστο, από αρνητική σε θετική τοπικό ελάχιστο· αν διατηρεί πρόσημο, δεν έχουμε ακρότατο· τότε η f είναι γνησίως μονότονη.
Για συνεχή f στο [α, β]: τιμές στα κρίσιμα σημεία και στα άκρα, η μεγαλύτερη είναι το μέγιστο, η μικρότερη το ελάχιστο.

Όροι

τοπικό μέγιστο στο x₀: f(x) ≤ f(x₀) κοντά στο x₀
τοπικό ελάχιστο στο x₀: f(x) ≥ f(x₀) κοντά στο x₀
τοπικά ακρότατα: τα τοπικά μέγιστα και ελάχιστα
θέση τοπικού ακροτάτου: το x₀ όπου εμφανίζεται
Θεώρημα Fermat: τοπικό ακρότατο εσωτερικό ⇒ f′(x₀) = 0
κρίσιμο σημείο: εσωτερικό σημείο με f′ = 0 ή χωρίς f′
πιθανές θέσεις ακροτάτων: κρίσιμα σημεία και άκρα του Δ
f′ από + σε − στο x₀: τοπικό μέγιστο
f′ από − σε + στο x₀: τοπικό ελάχιστο
f′ ίδιο πρόσημο γύρω από x₀: όχι ακρότατο, f γνησίως μονότονη
ακρότατα συνεχούς f στο [α, β]: κρίσιμα σημεία και άκρα α, β
ln x ≤ x − 1: για κάθε x > 0, ισότητα για x = 1

ΠΑΙΞΕ ΤΟΤηλεπαιχνίδι · Η Σκάλα · Η Τελεία · Κρεμάλα · Ζευγάρια · όλα με την ύλη αυτού του μαθήματος.

Εξάσκηση

Συχνές απορίες

Τι λέει το θεώρημα του Fermat;

Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε εσωτερικό σημείο x₀ ενός διαστήματος και είναι παραγωγίσιμη εκεί, τότε f′(x₀) = 0, δηλαδή η εφαπτομένη είναι οριζόντια.

Τι είναι κρίσιμο σημείο;

Εσωτερικό σημείο του διαστήματος όπου η f′ μηδενίζεται ή δεν υπάρχει. Μαζί με τα άκρα του διαστήματος είναι οι πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων· δεν είναι όλα θέσεις ακροτάτων.

Πώς βρίσκω μέγιστο και ελάχιστο συνεχούς f σε [α, β];

Βρίσκω τα κρίσιμα σημεία, υπολογίζω την f σε αυτά και στα άκρα α, β, και παίρνω τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή.

Ανοίγει το μενού κοινοποίησης του κινητού σου. Αν δεν υπάρχει, αντιγράφεται ο σύνδεσμος.

Νέα από το aporia.gr Νέες ενότητες και ό,τι βρίσκουμε στα θέματα των Πανελληνίων, στη σελίδα μας στο Facebook.

Ακολούθησε Κοινοποίησε τη σελίδα