Πολυωνυμικές εξισώσεις στο ℂ

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Στο R η zⁿ = 1 έχει μία ή δύο λύσεις· στο ℂ έχει ακριβώς ν διαφορετικές.
2. Οι λύσεις είναι zκ = συν(2κπ/ν) + iημ(2κπ/ν), κ = 0, 1, …, ν − 1, δηλαδή 1, ω, ω², …, ωⁿ⁻¹ με ω = συν(2π/ν) + iημ(2π/ν).
3. Οι εικόνες τους σχηματίζουν κανονικό ν-γωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου O και ακτίνας 1.
4. Η zⁿ = a με a = ρ(συνθ + iημθ) ≠ 0 έχει ν λύσεις με μέτρο την ν-οστή ρίζα του ρ και ορίσματα (2κπ + θ)/ν· οι εικόνες τους είναι κορυφές κανονικού ν-γώνου.
5. Θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας: μια πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν έχει ακριβώς ν ρίζες στο ℂ, και P(z) = αν(z − z₁)…(z − zν).
6. Σε εξίσωση με πραγματικούς συντελεστές, αν ρίζα είναι ο α + βi, ρίζα είναι και ο α − βi.
7. Ένα πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές γράφεται ως γινόμενο από παράγοντες 1ου βαθμού και 2ου βαθμού, οι δεύτεροι με Δ < 0.

Πρόσωπα

R. Descartes

εισάγει τον όρο «φανταστικές» ρίζες (1637)

G.W. Leibniz

ισχυρίζεται λαθεμένα ότι το x⁴ + α⁴ δεν αναλύεται (1702)

d'Alembert, L. Euler, J.L. Lagrange

ημιτελείς αποδείξεις του θεμελιώδους θεωρήματος

C.F. Gauss

πρώτη αυστηρή απόδειξη, στα 22 του (1799)

Όροι

νιοστές ρίζες της μονάδας

οι ν λύσεις της zⁿ = 1

ω (ρίζα της μονάδας)

συν(2π/ν) + iημ(2π/ν)

λύσεις της zⁿ = 1

1, ω, ω², …, ωⁿ⁻¹

εικόνες ριζών της zⁿ = 1

κορυφές κανονικού ν-γώνου

πλήθος λύσεων της zⁿ = a

ν διαφορετικές, για a ≠ 0

θεμελιώδες θεώρημα Άλγεβρας

ν βαθμού → ν ρίζες στο ℂ

ανάλυση του P(z)

αν(z − z₁)(z − z₂)…(z − zν)

ρίζα α + βi, πραγματικοί συντελ.

ρίζα και ο συζυγής α − βi

πρώτη αυστηρή απόδειξη

Gauss, 1799

La Geometrie

βιβλίο του Descartes (1637)