Τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Όρισμα του z ≠ 0 είναι κάθε γωνία με αρχική πλευρά την Ox και τελική την OM· για z = 0 δεν ορίζεται όρισμα.
2. Το πρωτεύον όρισμα Arg(z) είναι το μοναδικό όρισμα στο [0, 2π)· δύο ορίσματα διαφέρουν κατά 2κπ, κ ∈ Z.
3. Με ρ = |z| και θ όρισμα: x = ρσυνθ, y = ρημθ, άρα z = ρ(συνθ + iημθ), η τριγωνομετρική ή πολική μορφή.
4. Δύο μη μηδενικοί μιγαδικοί είναι ίσοι αν έχουν ίσα μέτρα και ορίσματα που διαφέρουν κατά ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π.
5. Γινόμενο: τα μέτρα πολλαπλασιάζονται, τα ορίσματα προστίθενται· πηλίκο: τα μέτρα διαιρούνται, τα ορίσματα αφαιρούνται.
6. Γεωμετρικά, ο πολλαπλασιασμός με z₂ στρέφει τη διανυσματική ακτίνα κατά θ₂ και την πολλαπλασιάζει με ρ₂· ο πολλαπλασιασμός με i τη στρέφει κατά π/2.
7. Θεώρημα De Moivre: zⁿ = ρⁿ[συν(νθ) + iημ(νθ)], αποδεικνύεται με επαγωγή και ισχύει και για αρνητικό ακέραιο εκθέτη.

Πρόσωπα

A. de Moivre

πρώτες ιδέες τριγωνομετρικής παράστασης (1739)

L. Euler

μελετά τις παραστάσεις συνθ + iημθ (1748)

C. Wessel, R. Argand

μιγαδικοί ως διευθύνσεις στο επίπεδο (1799, 1806)

C.F. Gauss

καθιερώνει τη γεωμετρική ερμηνεία (1831)

Όροι

όρισμα του z

γωνία από την Ox ως την OM

Arg(z)

πρωτεύον όρισμα, στο [0, 2π)

δύο ορίσματα του z

διαφέρουν κατά 2κπ, κ ∈ Z

όρισμα του 0

δεν ορίζεται

τριγωνομετρική μορφή

z = ρ(συνθ + iημθ)

x, y από ρ, θ

x = ρσυνθ, y = ρημθ

γινόμενο z₁z₂

μέτρα επί, ορίσματα συν

πηλίκο z₁ / z₂

μέτρα διά, ορίσματα πλην

πολλαπλασιασμός με i

στροφή κατά π/2

|συνθ + iημθ|

1

θεώρημα De Moivre

zⁿ = ρⁿ[συν(νθ) + iημ(νθ)]

z₁ = z₂ (πολική μορφή)

ρ₁ = ρ₂ και θ₁ − θ₂ = 2κπ