Κανόνες παραγώγισης

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Άθροισμα: (f + g)′ = f′ + g′, και για περισσότερες συναρτήσεις.
2. Γινόμενο: (f·g)′ = f′g + fg′· για τρεις (fgh)′ = f′gh + fg′h + fgh′· και (cf)′ = cf′.
3. Πηλίκο, όταν g ≠ 0: (f/g)′ = (f′g − fg′)/g².
4. (x⁻ⁿ)′ = −νx⁻ⁿ⁻¹ στο R*, άρα (xᵏ)′ = κxᵏ⁻¹ για κάθε ακέραιο κ ≠ 0, 1.
5. (εφx)′ = 1/συν²x και (σφx)′ = −1/ημ²x.
6. Σύνθεση: αν η g είναι παραγωγίσιμη στο x₀ και η f στο g(x₀), τότε (fog)′(x₀) = f′(g(x₀))·g′(x₀)· με u = g(x): (f(u))′ = f′(u)·u′.
7. Κανόνας της αλυσίδας κατά Leibniz: dy/dx = (dy/du)·(du/dx)· το dy/dx δεν είναι πηλίκο, απλώς συμπεριφέρεται σαν πηλίκο.
8. Συνέπειες: (xᵃ)′ = αxᵃ⁻¹ για α ∉ Z και x > 0, (αˣ)′ = αˣlnα, (ln|x|)′ = 1/x στο R*.

Όροι

(f + g)′

f′ + g′

(f·g)′

f′g + fg′

(cf)′

cf′

(f/g)′

(f′g − fg′)/g², g ≠ 0

(x⁻ⁿ)′

−νx⁻ⁿ⁻¹, x ≠ 0

(εφx)′

1/συν²x

(σφx)′

−1/ημ²x

(f(g(x)))′

f′(g(x))·g′(x)

κανόνας της αλυσίδας

dy/dx = (dy/du)·(du/dx)

(xᵃ)′, α ∈ R − Z, x > 0

αxᵃ⁻¹

(αˣ)′, α > 0

αˣ·lnα

(ln|x|)′

1/x, x ≠ 0

(ημu)′

συνu·u′

(συνu)′

−ημu·u′

(eᵘ)′

eᵘ·u′

(√u)′

u′/(2√u)

(ln|u|)′

u′/u