Πράξεις στο σύνολο ℂ των μιγαδικών

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Πρόσθεση και αφαίρεση κατά μέρη: (α + βi) ± (γ + δi) = (α ± γ) + (β ± δ)i· η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων.
2. Πολλαπλασιασμός όπως στα διώνυμα με i² = −1: (α + βi)(γ + δi) = (αγ − βδ) + (αδ + βγ)i.
3. Ο συζυγής του z = α + βi είναι ο z̄ = α − βi, και (α + βi)(α − βi) = α² + β².
4. Για το πηλίκο πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους με τον συζυγή του παρονομαστή.
5. Δυνάμεις: i⁰ = 1, i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, και μετά επαναλαμβάνονται· iⁿ = iᵘ με υ το υπόλοιπο του ν διά 4.
6. Οι εικόνες των z και z̄ είναι συμμετρικές ως προς τον πραγματικό άξονα· z + z̄ = 2α, z − z̄ = 2βi.
7. Ο συζυγής αθροίσματος, διαφοράς, γινομένου και πηλίκου είναι το αντίστοιχο αποτέλεσμα των συζυγών.
8. Κάθε δευτεροβάθμια εξίσωση με πραγματικούς συντελεστές λύνεται στο ℂ· αν Δ < 0 οι ρίζες είναι συζυγείς μιγαδικοί.

Όροι

(α + βi) + (γ + δi)

(α + γ) + (β + δ)i

(α + βi)(γ + δi)

(αγ − βδ) + (αδ + βγ)i

συζυγής του α + βi

α − βi

(α + βi)(α − βi)

α² + β²

z + z̄

2α

z − z̄

2βi

i²

−1

i³

−i

i⁴

1

iⁿ με ν = 4ρ + υ

iᵘ

διαίρεση μιγαδικών

επί τον συζυγή του παρονομαστή

εικόνες z και z̄

συμμετρικές ως προς x′x

Δ < 0 στο ℂ

δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες

λύσεις της z² = −4

z = 2i ή z = −2i