Η έννοια του μιγαδικού αριθμού

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Το ℂ είναι υπερσύνολο του R με τις ίδιες πράξεις και ιδιότητες και ένα στοιχείο i με i² = −1.
2. Κάθε μιγαδικός γράφεται με μοναδικό τρόπο ως z = α + βi, με α, β πραγματικούς.
3. Το α είναι το πραγματικό μέρος Re(z) και το β το φανταστικό μέρος Im(z)· ο βi λέγεται φανταστικός αριθμός.
4. Ισότητα: α + βi = γ + δi ⇔ α = γ και β = δ.
5. Στο ℂ δεν ορίζεται διάταξη όπως στο R.
6. Ο z = α + βi αντιστοιχεί στο σημείο M(α, β), την εικόνα του· ο x′x είναι ο πραγματικός άξονας και ο y′y ο φανταστικός.
7. Ο z παριστάνεται και με τη διανυσματική ακτίνα OM του σημείου M(α, β).

Πρόσωπα

S. del Ferro, N. Tartaglia

Ιταλοί αλγεβριστές, λύση κυβικών εξισώσεων (16ος αι.)

R. Bombelli

δείχνει ότι οι ρίζες αρνητικών δίνουν σωστή ρίζα

J. Hadamard

απέδειξε το θεώρημα των πρώτων αριθμών (1896)

Όροι

i

στοιχείο του ℂ με i² = −1

μιγαδικός αριθμός

z = α + βi, α, β ∈ R

Re(z)

πραγματικό μέρος α

Im(z)

φανταστικό μέρος β

φανταστικός αριθμός

βi = 0 + βi

α + βi = γ + δi

α = γ και β = δ

α + βi = 0

α = 0 και β = 0

εικόνα του α + βi

σημείο M(α, β)

πραγματικός άξονας

x′x, εικόνες των πραγματικών

φανταστικός άξονας

y′y, εικόνες των φανταστικών

διάταξη στο ℂ

δεν ορίζεται

R ⊆ ℂ

κάθε πραγματικός α είναι α + 0i