Η έννοια της παραγώγου

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Αν S(t) η θέση ενός κινητού, η μέση ταχύτητα από t₀ έως t είναι (S(t) − S(t₀))/(t − t₀) και το όριό της καθώς t → t₀ είναι η στιγμιαία ταχύτητα υ(t₀).
2. Η εφαπτομένη μιας καμπύλης ορίζεται ως οριακή θέση της τέμνουσας AM καθώς το M πλησιάζει το A, με κλίση λ = lim (f(x) − f(x₀))/(x − x₀).
3. Η f είναι παραγωγίσιμη στο x₀ αν αυτό το όριο υπάρχει και είναι πραγματικός· τότε λέγεται παράγωγος f′(x₀).
4. Με x = x₀ + h: f′(x₀) = lim (f(x₀ + h) − f(x₀))/h, h → 0· ο Leibniz έγραψε df/dx, ο Lagrange f′(x₀).
5. Σε εσωτερικό σημείο, η f είναι παραγωγίσιμη αν τα δύο πλευρικά όρια του λόγου μεταβολής υπάρχουν στο R και είναι ίσα.
6. υ(t₀) = S′(t₀), και η εφαπτομένη στο A(x₀, f(x₀)) είναι y − f(x₀) = f′(x₀)(x − x₀).
7. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x₀, είναι και συνεχής εκεί· το αντίστροφο δεν ισχύει (η |x| στο 0).

Όροι

συνάρτηση θέσης S(t)

θέση κινητού τη χρονική στιγμή t

στιγμιαία ταχύτητα υ(t₀)

S′(t₀)

εφαπτομένη της Cf

οριακή θέση της τέμνουσας AM

παράγωγος f′(x₀)

lim (f(x) − f(x₀))/(x − x₀), x → x₀

f′(x₀) με h

lim (f(x₀ + h) − f(x₀))/h, h → 0

παραγωγίσιμη στο x₀

το όριο υπάρχει και είναι πραγματικός

εξίσωση εφαπτομένης στο x₀

y − f(x₀) = f′(x₀)(x − x₀)

κλίση της f στο x₀

f′(x₀), κλίση της εφαπτομένης

Δf(x₀)

f(x₀ + Δx) − f(x₀)

df/dx

συμβολισμός παραγώγου του Leibniz

f′(x₀)

συμβολισμός του Lagrange

παραγωγίσιμη στο x₀

⇒ συνεχής στο x₀

f(x) = |x| στο 0

συνεχής, όχι παραγωγίσιμη

ασυνεχής στο x₀

δεν είναι παραγωγίσιμη στο x₀