Επίλυση γραμμικού συστήματος με τη μέθοδο οριζουσών

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Ορίζουσα 2ης τάξης: |A| = α₁₁α₂₂ − α₂₁α₁₂.
2. Ορίζουσα 3ης τάξης: ανάπτυγμα ως προς μια γραμμή ή στήλη, όπου κάθε στοιχείο πολλαπλασιάζεται με το αλγεβρικό του συμπλήρωμα.
3. Ελάσσων ορίζουσα Mᵢⱼ: η ορίζουσα που μένει αν σβήσουμε τη γραμμή i και τη στήλη j· αλγεβρικό συμπλήρωμα Aᵢⱼ = (−1)ⁱ⁺ʲMᵢⱼ.
4. Η ορίζουσα ν τάξης ορίζεται επαγωγικά και αναπτύσσεται ως προς οποιαδήποτε γραμμή ή στήλη· συμφέρει εκείνη με τα περισσότερα μηδενικά.
5. Μηδενική γραμμή ή στήλη, ή δύο ίσες ή ανάλογες γραμμές, δίνουν ορίζουσα 0· σε τριγωνικό πίνακα η ορίζουσα είναι το γινόμενο της κύριας διαγωνίου.
6. Σύστημα ν x ν AX = B: αν D ≠ 0 έχει μοναδική λύση xᵢ = Dxᵢ / D (κανόνας Cramer)· αν D = 0 είναι αδύνατο ή έχει άπειρες λύσεις.
7. Ομογενές σύστημα: μόνο η μηδενική λύση αν D ≠ 0, άπειρες λύσεις αν D = 0.
8. Για πολλές εξισώσεις ο Gauss είναι πιο αποδοτικός· ο Cramer χρησιμεύει σε 2 x 2, 3 x 3 και σε θεωρητικά ζητήματα.

Όροι

ορίζουσα 2ης τάξης

α₁₁α₂₂ − α₂₁α₁₂

ελάσσων ορίζουσα Mᵢⱼ

σβήνουμε γραμμή i και στήλη j

αλγεβρικό συμπλήρωμα Aᵢⱼ

(−1)ⁱ⁺ʲ·Mᵢⱼ

ανάπτυγμα ορίζουσας

Σ στοιχείο επί αλγεβρικό συμπλήρωμα

μηδενική γραμμή ή στήλη

ορίζουσα 0

δύο ανάλογες γραμμές

ορίζουσα 0

ορίζουσα τριγωνικού πίνακα

γινόμενο κύριας διαγωνίου

κανόνας Cramer

xᵢ = Dxᵢ / D, όταν D ≠ 0

Dxᵢ

D με τη στήλη του xᵢ → σταθερούς όρους

D = 0 σε σύστημα ν x ν

αδύνατο ή άπειρες λύσεις

ομογενές με D ≠ 0

μόνο η μηδενική λύση

ομογενές με D = 0

άπειρες λύσεις

σύστημα Cramer

ν x ν σύστημα με |A| ≠ 0