Α1.6

Επίλυση γραμμικού συστήματος με τη μέθοδο απαλοιφής του Gauss

Λύνουμε γραμμικά συστήματα με γραμμοπράξεις στον επαυξημένο πίνακα, ώσπου να γίνει ανηγμένος κλιμακωτός (αλγόριθμος του Gauss).

Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΝΟΤΗΤΑ Α115 ΛΕΠΤΑ

Το μάθημα είναι στο σχολικό βιβλίο. Δεν το αντιγράφουμε εδώ. Άνοιξε το επίσημο κεφάλαιο και γύρνα για την εξάσκηση.

Άνοιγμα βιβλίου

Η σύνοψη, οι όροι και οι ασκήσεις γράφτηκαν με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης από το σχολικό βιβλίο και μπορεί να έχουν λάθη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο: ό,τι σου φαίνεται περίεργο, έλεγξέ το εκεί. Βρήκες λάθος; Γράψε μας στο aporia@signmak.com.

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

Τρεις διαδικασίες δίνουν ισοδύναμο σύστημα: εναλλαγή δύο εξισώσεων, πολλαπλασιασμός εξίσωσης με μη μηδενικό αριθμό, πρόσθεση πολλαπλασίου μιας εξίσωσης σε άλλη.
Στον επαυξημένο πίνακα οι ίδιες κινήσεις γίνονται στις γραμμές και λέγονται γραμμοπράξεις· πίνακες που προκύπτουν ο ένας από τον άλλο έτσι είναι γραμμοϊσοδύναμοι (A ~ B).
Ανηγμένος κλιμακωτός πίνακας: οι μηδενικές γραμμές στο τέλος, κάθε μη μηδενική γραμμή αρχίζει με 1 πιο δεξιά από την προηγούμενη, και αυτό το 1 είναι το μόνο μη μηδενικό της στήλης του.
Κάθε πίνακας γίνεται με πεπερασμένες γραμμοπράξεις ανηγμένος κλιμακωτός, και αυτός είναι μοναδικός.
Αλγόριθμος Gauss: βρίσκουμε στήλη με μη μηδενικό στοιχείο, το φέρνουμε πάνω, το κάνουμε 1, μηδενίζουμε από κάτω, και επαναλαμβάνουμε· στο τέλος μηδενίζουμε και πάνω από κάθε 1.
Αν περισσεύουν άγνωστοι, εκφράζουμε τους άλλους μέσω αυτών και το σύστημα έχει άπειρες λύσεις.
Αν προκύψει γραμμή με μηδενικούς συντελεστές και σταθερό όρο α ≠ 0, το σύστημα είναι αδύνατο.

Όροι

γραμμοπράξη: πράξη στις γραμμές του πίνακα
εναλλαγή δύο γραμμών: 1η γραμμοπράξη
γραμμή επί λ ≠ 0: 2η γραμμοπράξη
γραμμή + λ·άλλη γραμμή: 3η γραμμοπράξη
γραμμοϊσοδύναμοι πίνακες: ο ένας βγαίνει από τον άλλο, A ~ B
κλιμακωτός πίνακας: κάθε γραμμή αρχίζει πιο δεξιά
ανηγμένος κλιμακωτός: οδηγό 1, μόνο μη μηδενικό στη στήλη
αλγόριθμος του Gauss: επαυξημένος → ανηγμένος κλιμακωτός
γραμμή 0 … 0 | α, α ≠ 0: το σύστημα είναι αδύνατο
συμβιβαστό γραμμικό σύστημα: μία λύση ή άπειρες λύσεις
ελεύθεροι άγνωστοι: παίρνουν αυθαίρετες τιμές

ΠΑΙΞΕ ΤΟΤηλεπαιχνίδι · Η Σκάλα · Η Τελεία · Κρεμάλα · Ζευγάρια · όλα με την ύλη αυτού του μαθήματος.

Εξάσκηση

Συχνές απορίες

Ποιες είναι οι τρεις γραμμοπράξεις;

Εναλλαγή δύο γραμμών, πολλαπλασιασμός μιας γραμμής με αριθμό διάφορο του μηδενός, και πρόσθεση σε μια γραμμή μιας άλλης πολλαπλασιασμένης με αριθμό. Δίνουν ισοδύναμο σύστημα.

Πώς καταλαβαίνω ότι ένα σύστημα είναι αδύνατο με τη μέθοδο Gauss;

Αν εμφανιστεί γραμμή με όλους τους συντελεστές 0 και σταθερό όρο α ≠ 0, δηλαδή 0 = α.

Μπορεί ένα γραμμικό σύστημα να έχει ακριβώς δύο λύσεις;

Όχι. Ένα συμβιβαστό γραμμικό σύστημα έχει ή μοναδική λύση ή άπειρες λύσεις.

Ανοίγει το μενού κοινοποίησης του κινητού σου. Αν δεν υπάρχει, αντιγράφεται ο σύνδεσμος.

Νέα από το aporia.gr Νέες ενότητες και ό,τι βρίσκουμε στα θέματα των Πανελληνίων, στη σελίδα μας στο Facebook.

Ακολούθησε Κοινοποίησε τη σελίδα