Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Γεωμετρικός μετασχηματισμός είναι μια συνάρτηση T από τα σημεία του επιπέδου στα σημεία του επιπέδου, M(x, y) → M′(x′, y′).
2. Όταν x′ = αx + βy και y′ = γx + δy, ο μετασχηματισμός λέγεται γραμμικός και ο πίνακας με γραμμές (α, β), (γ, δ) λέγεται πίνακάς του.
3. Η πρώτη στήλη του πίνακα είναι η εικόνα του (1, 0), η δεύτερη η εικόνα του (0, 1).
4. Ένας γραμμικός μετασχηματισμός με αντιστρέψιμο πίνακα στέλνει ευθείες σε ευθείες και πολύγωνα σε πολύγωνα· ο πίνακας της εικόνας ενός πολυγώνου είναι ο πίνακας του μετασχηματισμού επί τον πίνακα του πολυγώνου.
5. Συμμετρίες: ως προς O (x′ = −x, y′ = −y), ως προς x′x (y′ = −y), ως προς y′y (x′ = −x), ως προς y = x (αλλάζουν θέση οι συντεταγμένες). Όλες είναι ισομετρίες.
6. Στροφή κατά θ γύρω από το O: πίνακας (συνθ, −ημθ; ημθ, συνθ), επίσης ισομετρία.
7. Ομοιοθεσία με κέντρο O και λόγο λ ≠ 0: x′ = λx, y′ = λy, πίνακας λI. Η παράλληλη μεταφορά δεν είναι γραμμική.
8. Ο πίνακας του σύνθετου μετασχηματισμού T₂∘T₁ είναι το γινόμενο A₂A₁.

Όροι

γεωμετρικός μετασχηματισμός

συνάρτηση από σημεία σε σημεία επιπέδου

γραμμικός μετασχηματισμός

x′ = αx + βy, y′ = γx + δy

στήλες του πίνακα

εικόνες των (1, 0) και (0, 1)

ισομετρία

μετασχηματισμός που διατηρεί αποστάσεις

συμμετρία ως προς O

πίνακας −I, (x, y) → (−x, −y)

συμμετρία ως προς x′x

(x, y) → (x, −y)

συμμετρία ως προς y′y

(x, y) → (−x, y)

συμμετρία ως προς y = x

(x, y) → (y, x)

στροφή κατά θ

πίνακας [συνθ −ημθ; ημθ συνθ]

στροφή κατά π

συμμετρία ως προς την αρχή O

στροφή κατά 2π

ταυτοτική απεικόνιση

ομοιοθεσία λόγου λ

πίνακας λI, λ ≠ 0

παράλληλη μεταφορά

x′ = x + μ, y′ = y + ν, όχι γραμμική

πίνακας του T₂∘T₁

A₂·A₁