Πολλαπλασιασμός πινάκων

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Το στοιχείο γᵢⱼ του AB είναι το άθροισμα των γινομένων της i γραμμής του A με την j στήλη του B.
2. Αν ο A είναι μ x ν και ο B είναι ν x ρ, το AB είναι μ x ρ· αλλιώς το γινόμενο δεν ορίζεται.
3. Ισχύουν η προσεταιριστική και η επιμεριστική ιδιότητα, αλλά γενικά AB ≠ BA.
4. Ο μοναδιαίος πίνακας Iν έχει 1 στην κύρια διαγώνιο και 0 αλλού, και AI = IA = A.
5. Για τετραγωνικό A ορίζονται οι δυνάμεις A², A³, … και A¹ = A.
6. Ένα γινόμενο πινάκων μπορεί να είναι O χωρίς να είναι μηδενικός κάποιος παράγοντας· αν όμως AB = O και ο A αντιστρέφεται, τότε B = O.
7. Ο A (ν x ν) είναι αντιστρέψιμος αν υπάρχει B με AB = BA = I· ο αντίστροφος A⁻¹ είναι μοναδικός και αρκεί να ελέγξουμε μία από τις δύο ισότητες.
8. Αν ο A αντιστρέφεται: AX = B ⇔ X = A⁻¹B και XA = B ⇔ X = BA⁻¹.

Όροι

γινόμενο AB (μ x ν επί ν x ρ)

πίνακας τύπου μ x ρ

στοιχείο γᵢⱼ του AB

i γραμμή του A επί j στήλη του B

AB = BA

δεν ισχύει γενικά

μοναδιαίος πίνακας I

1 στην κύρια διαγώνιο, 0 αλλού

AI = IA

A

αντιστρέψιμος πίνακας A

υπάρχει B με AB = BA = I

A·A⁻¹

A⁻¹·A = I

AX = B, A αντιστρέψιμος

X = A⁻¹B

XA = B, A αντιστρέψιμος

X = BA⁻¹

D για 2 x 2 πίνακα [α β; γ δ]

D = αδ − βγ

2 x 2 πίνακας αντιστρέφεται

αν και μόνο αν D ≠ 0

AB = O, A αντιστρέψιμος

B = O

A², A³

AA, AAA (A τετραγωνικός)