ΕΝΘΕΤΟ. Η ΕΝΕΡΓΟΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΤΩΝ ΜΟΡΙΩΝ ΑΕΡΙΟΥ ΕΙΝΑΙ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΗ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ (ΑΠΟΔΕΙΞΗ)
Ένθετο με μαθηματική απόδειξη ότι η ενεργός ταχύτητα των μορίων ενός αερίου είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση με τη μέση, και με τους τύπους της πιθανότερης, της μέσης και της ενεργού ταχύτητας κατά Maxwell-Boltzmann.
Β΄ Λυκείου · Φυσική θετικών · 25 λεπτά
Το μάθημα είναι στο σχολικό βιβλίο. Δεν το αντιγράφουμε εδώ. Άνοιξε το επίσημο
κεφάλαιο και γύρνα για την εξάσκηση.
Η σύνοψη, οι όροι και οι ασκήσεις γράφτηκαν με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης από το
σχολικό βιβλίο και μπορεί να έχουν λάθη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο: ό,τι σου φαίνεται περίεργο,
έλεγξέ το εκεί. Βρήκες λάθος; Γράψε μας στο aporia@signmak.com.
Σχεδιάγραμμα
Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο.
Τι έγινε
Ορισμοί: μέση ταχύτητα ῡ = (υ1 + … + υN)/N και ενεργός υεν = √((υ1² + … + υN²)/N).
Σχηματίζουμε την ποσότητα A = (1/N)·Σ(υi − ῡ)², που είναι πάντα A ≥ 0.
Αναπτύσσοντας το τετράγωνο βρίσκουμε A = υεν² − ῡ².
Άρα υεν² ≥ ῡ² και, αφού και οι δύο είναι θετικές, υεν ≥ ῡ· η ισότητα μόνο αν όλα τα μόρια είχαν το ίδιο μέτρο ταχύτητας.
Από την κατανομή Maxwell-Boltzmann: υπ = √(2RT/M), ῡ = √(8RT/(πM)), υεν = √(3RT/M).
Γιατί η ενεργός ταχύτητα είναι μεγαλύτερη από τη μέση;
Η μέση τιμή των τετραγώνων των αποκλίσεων (υi − ῡ)² δεν μπορεί να είναι αρνητική, και βγαίνει ίση με υεν² − ῡ². Άρα υεν ≥ ῡ, και η ισότητα θα ίσχυε μόνο αν όλα τα μόρια είχαν το ίδιο μέτρο ταχύτητας.
Πότε θα ήταν ίσες η μέση και η ενεργός ταχύτητα;
Μόνο αν όλα τα μόρια είχαν την ίδια κατά μέτρο ταχύτητα, κάτι αδύνατο για τόσο μεγάλο πλήθος μορίων.
Ποιοι είναι οι τύποι των τριών χαρακτηριστικών ταχυτήτων;
Για αέριο με γραμμομοριακή μάζα M σε θερμοκρασία T: πιθανότερη υπ = √(2RT/M), μέση ῡ = √(8RT/(πM)), ενεργός υεν = √(3RT/M).
Ανοίγει το μενού κοινοποίησης του κινητού σου. Αν δεν υπάρχει, αντιγράφεται ο σύνδεσμος.
Νέα από το aporia.gr Νέες ενότητες και ό,τι βρίσκουμε στα θέματα των Πανελληνίων, στη σελίδα μας στο Facebook.