Το παράρτημα εξηγεί την αξιωματική μέθοδο: πώς γεννήθηκε στην αρχαία Ελλάδα, πώς οργανώνονται τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη, και πώς στα τέλη του 19ου αιώνα η Γεωμετρία ξαναχτίστηκε ως αφηρημένο σύστημα αξιωμάτων με μοντέλα.
Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥΓΕΩΜΕΤΡΙΑΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α΄15 ΛΕΠΤΑ
Το μάθημα είναι στο σχολικό βιβλίο. Δεν το αντιγράφουμε εδώ. Άνοιξε το επίσημο
κεφάλαιο και γύρνα για την εξάσκηση.
Η σύνοψη, οι όροι και οι ασκήσεις γράφτηκαν με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης από το
σχολικό βιβλίο και μπορεί να έχουν λάθη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο: ό,τι σου φαίνεται περίεργο,
έλεγξέ το εκεί. Βρήκες λάθος; Γράψε μας στο aporia@signmak.com.
Σχεδιάγραμμα
Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.
Τι έγινε
Στην αξιωματική μέθοδο κάποιες προτάσεις (αξιώματα ή αιτήματα) γίνονται δεκτές ως αφετηρία και όλα τα θεωρήματα προκύπτουν από αυτές με αποδείξεις· οι κανόνες των συλλογισμών ανήκουν στη λογική.
Η ιδέα να εξηγηθεί ο κόσμος από λίγες αρχές υπάρχει ήδη στους Ίωνες φιλοσόφους, στον Εμπεδοκλή και στους ατομικούς. Για τον Πλάτωνα η επιστήμη ξεκινά από αρχές και μελετά αμετάβλητα ιδεατά αντικείμενα.
Ο Αριστοτέλης στα «Αναλυτικά Ύστερα» χωρίζει τις προτάσεις σε αρχικές (αξιώματα, αιτήματα) και αποδείξιμες (θεωρήματα), και τους όρους σε αρχικούς, που δεν ορίζονται, και παράγωγους.
Τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη ξεκινούν με 23 ορισμούς, αιτήματα και κοινές έννοιες. Τα τρία πρώτα αιτήματα επιτρέπουν κατασκευές με κανόνα και διαβήτη και το πέμπτο εξασφαλίζει ότι δύο ευθείες τέμνονται υπό ορισμένες συνθήκες.
Το σύστημα του Ευκλείδη είχε κενά: δεν περιέγραφε με ακρίβεια τι είναι λογική απόδειξη, στηριζόταν στην εποπτεία και δεν είχε έννοιες όπως το «μεταξύ».
Τον 19ο αιώνα θεωρίες αξιωματικοποιήθηκαν ανεξάρτητα από μία ερμηνεία: ο Πας (1882) εισήγαγε αξιώματα για το «μεταξύ», ο Πεάνο και ο Ντέντεκιντ έδωσαν αξιώματα για την αριθμητική.
Ο Χίλμπερτ θεμελίωσε τη Γεωμετρία σε πέντε ομάδες αξιωμάτων: σύνδεσης, διάταξης, ισοδυναμίας, συνέχειας και παραλληλίας. Οι αρχικές έννοιες ορίζονται έμμεσα από τα αξιώματα.
Ένα μοντέλο (ερμηνεία) είναι αντικείμενα που ικανοποιούν τα αξιώματα. Με μοντέλα αποδεικνύεται η σχετική μη αντιφατικότητα της μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας και η ανεξαρτησία ενός αξιώματος, όπως του αξιώματος παραλληλίας.
Πρόσωπα
Πλάτων
η επιστήμη ξεκινά από αρχές και μελετά αμετάβλητα ιδεατά αντικείμενα
Αριστοτέλης
διατύπωσε στα «Αναλυτικά Ύστερα» θεωρία αποδεικτικής επιστήμης
Ευκλείδης
οργάνωσε τα «Στοιχεία» σε ορισμούς, αιτήματα και κοινές έννοιες
Ιπποκράτης ο Χίος
πρώτος επιχείρησε να συντάξει γεωμετρικά «Στοιχεία»
Πας
αξιωματικοποίησε τη Γεωμετρία με αξιώματα για το «μεταξύ» (1882)
Πεάνο
αξιωματικοποίησε τη σχετική θέση σημείων, ευθειών, επιπέδων και την αριθμητική
Ντέντεκιντ
πρότεινε πλήρες σύστημα αξιωμάτων της αριθμητικής (1888)
Χίλμπερτ
θεμελίωσε τη Γεωμετρία σε πέντε ομάδες αξιωμάτων
Κλάιν και Πουανκαρέ
απέδειξαν με μοντέλα τη σχετική μη αντιφατικότητα της μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας
Είναι ένας τρόπος να χτιστεί μια επιστημονική θεωρία: δεχόμαστε λίγες προτάσεις ως αρχές, τα αξιώματα ή αιτήματα, και από αυτές βγάζουμε με λογικούς συλλογισμούς, δηλαδή με αποδείξεις, όλα τα θεωρήματα.
Ποια είναι η διαφορά αξιώματος και αιτήματος κατά τον Αριστοτέλη;
Και τα δύο γίνονται δεκτά χωρίς απόδειξη. Τα αξιώματα θεωρούνται προφανή και αναγκαστικά αληθή, ενώ τα αιτήματα είναι υποθέσεις που δεχόμαστε χωρίς να είναι πάντα προφανείς.
Τι άλλαξε με το σύστημα του Χίλμπερτ;
Τα αξιώματα δεν θεωρούνται πια προφανείς αλήθειες για τον φυσικό χώρο. Σημεία, ευθείες και επίπεδα μένουν χωρίς ορισμό και καθορίζονται έμμεσα από πέντε ομάδες αξιωμάτων· κάθε σύνολο αντικειμένων που τα ικανοποιεί είναι ένα μοντέλο της θεωρίας.
Ανοίγει το μενού κοινοποίησης του κινητού σου. Αν δεν υπάρχει, αντιγράφεται ο σύνδεσμος.
Νέα από το aporia.gr Νέες ενότητες και ό,τι βρίσκουμε στα θέματα των Πανελληνίων, στη σελίδα μας στο Facebook.