Εγγεγραμμένα Σχήματα

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Μια γωνία με κορυφή στο κέντρο λέγεται επίκεντρη. Με κορυφή πάνω στον κύκλο και δύο τέμνουσες πλευρές λέγεται εγγεγραμμένη, ενώ αν η μία πλευρά είναι εφαπτομένη λέγεται γωνία χορδής και εφαπτομένης.
2. Η εγγεγραμμένη γωνία είναι το μισό της επίκεντρης που βαίνει στο ίδιο τόξο· το μέτρο της είναι το μισό του μέτρου του τόξου της.
3. Εγγεγραμμένες γωνίες σε ίσα τόξα (ή στο ίδιο τόξο) είναι ίσες και αντίστροφα· όσες βαίνουν σε ημικύκλιο είναι ορθές.
4. Μια γωνία που σχηματίζουν χορδή και εφαπτομένη στο άκρο της είναι ίση με κάθε εγγεγραμμένη στο τόξο αυτής της χορδής.
5. Τα σημεία που βλέπουν ένα τμήμα ΑΒ με γωνία φ σχηματίζουν δύο συμμετρικά τόξα με χορδή ΑΒ, χωρίς τα άκρα· για φ = 90° είναι ο κύκλος με διάμετρο ΑΒ, χωρίς τα Α και Β.
6. Σε εγγεγραμμένο τετράπλευρο οι απέναντι γωνίες έχουν άθροισμα 180°, οι δύο κορυφές έξω από κάθε πλευρά τη βλέπουν με ίσες γωνίες, και κάθε εξωτερική γωνία ισούται με την απέναντι εσωτερική.
7. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο αν δύο απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές ή αν οι δύο κορυφές έξω από μια πλευρά τη βλέπουν με ίσες γωνίες· τότε οι τέσσερις κορυφές του είναι ομοκυκλικές.
8. Με γεωμετρικούς τόπους λύνονται προβλήματα κατασκευής, π.χ. τρίγωνο από πλευρά, ύψος και γωνία, ή εφαπτομένη κύκλου από εξωτερικό σημείο. Η λύση περνά από ανάλυση, κατασκευή, απόδειξη και διερεύνηση.

Όροι

επίκεντρη γωνία

γωνία με κορυφή το κέντρο του κύκλου

εγγεγραμμένη γωνία

κορυφή στον κύκλο, πλευρές τέμνουσες

γωνία χορδής και εφαπτομένης

μία πλευρά χορδή, η άλλη εφαπτομένη

αντίστοιχο τόξο

το τόξο στο οποίο βαίνει η γωνία

εγγεγραμμένη και επίκεντρη

η εγγεγραμμένη είναι το μισό

μέτρο εγγεγραμμένης

το μισό του μέτρου του τόξου της

γωνία σε ημικύκλιο

ορθή, 90°

εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο

είναι ίσες

χορδής και εφαπτομένης

ίση με την εγγεγραμμένη στο τόξο της

τόξο που δέχεται γωνία φ

από τα σημεία του το ΑΒ φαίνεται υπό φ

τόπος για φ = 90°

κύκλος με διάμετρο ΑΒ, χωρίς Α, Β

εγγεγραμμένο τετράπλευρο

οι κορυφές του είναι σημεία κύκλου

απέναντι γωνίες εγγεγραμμένου

παραπληρωματικές, άθροισμα 180°

εξωτερική γωνία εγγεγραμμένου

ίση με την απέναντι εσωτερική

εγγράψιμο τετράπλευρο

υπάρχει κύκλος από τις 4 κορυφές του

κριτήριο εγγραψιμότητας

δύο απέναντι γωνίες παραπληρωματικές

ομοκυκλικά σημεία

σημεία που ανήκουν στον ίδιο κύκλο

ανάλυση

βοηθητικό βήμα πριν από την κατασκευή

διερεύνηση

πότε και πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα