Το εισαγωγικό κεφάλαιο εξηγεί τι μελετά η Ευκλείδεια Γεωμετρία, πώς διαφέρει από την πρακτική γεωμετρία των μετρήσεων, τι είναι πρωταρχικές έννοιες, αξιώματα και αποδείξεις, και δίνει μια σύντομη ιστορία της Γεωμετρίας.
Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥΓΕΩΜΕΤΡΙΑΕΝΟΤΗΤΑ 115 ΛΕΠΤΑ
Το μάθημα είναι στο σχολικό βιβλίο. Δεν το αντιγράφουμε εδώ. Άνοιξε το επίσημο
κεφάλαιο και γύρνα για την εξάσκηση.
Η σύνοψη, οι όροι και οι ασκήσεις γράφτηκαν με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης από το
σχολικό βιβλίο και μπορεί να έχουν λάθη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο: ό,τι σου φαίνεται περίεργο,
έλεγξέ το εκεί. Βρήκες λάθος; Γράψε μας στο aporia@signmak.com.
Σχεδιάγραμμα
Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.
Τι έγινε
Η Ευκλείδεια Γεωμετρία μελετά τον χώρο και τα σχήματα, επίπεδα και στερεά. Μια επιφάνεια είναι δισδιάστατη, μια γραμμή μονοδιάστατη, ενώ το σημείο δεν έχει διαστάσεις.
Η πρακτική Γεωμετρία στηρίζεται σε μετρήσεις, που δεν είναι ποτέ απόλυτα ακριβείς. Η θεωρητική Γεωμετρία χρησιμοποιεί συστηματικά τη λογική, για να καταλήξει σε γενικά συμπεράσματα.
Σημείο, ευθεία και επίπεδο δεχόμαστε ως πρωταρχικές έννοιες, χωρίς ορισμό. Για αυτές ισχύουν αξιώματα, π.χ. από δύο σημεία διέρχεται μία μόνο ευθεία, και κάθε ευθεία περιέχει άπειρα σημεία χωρίς κενά, απλωμένη χωρίς τέλος προς δύο κατευθύνσεις.
Το σχήμα βοηθά τη σκέψη, όμως ένα συμπέρασμα πρέπει να αποδεικνύεται λογικά από τις ιδιότητες που έχει το σχήμα και όχι μόνο από όσα φαίνονται στο σχέδιο.
Οι πρώτες γραπτές γεωμετρικές γνώσεις προέρχονται από την Αίγυπτο και τη Μεσοποταμία (3η με 2η χιλιετία π.Χ.) και ήταν κυρίως πρακτικοί κανόνες. Στην αρχαία Ελλάδα η Γεωμετρία έγινε αποδεικτική επιστήμη, με κορυφή τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη.
Στα ελληνιστικά χρόνια ο Αρχιμήδης υπολόγισε εμβαδά και όγκους με τη μέθοδο της εξάντλησης και ο Απολλώνιος μελέτησε τις κωνικές τομές.
Τον 17ο αιώνα ο Ντεκάρτ εισήγαγε τις συντεταγμένες (Αναλυτική Γεωμετρία)· ακολούθησαν η Προβολική και η Διαφορική Γεωμετρία.
Τον 19ο αιώνα η άρνηση του πέμπτου αιτήματος οδήγησε στη μη Ευκλείδεια Γεωμετρία (Λομπατσέφσκι, Μπόλυαϊ) και ο Ρήμαν διατύπωσε τη γενική έννοια του μαθηματικού χώρου· στο τέλος του αιώνα οι γεωμετρίες εκτέθηκαν ως συστήματα αξιωμάτων.
Πρόσωπα
Ευκλείδης
συγγραφέας των «Στοιχείων», πρότυπο αποδεικτικής επιστήμης για αιώνες
Ιπποκράτης ο Χίος
έγραψε μία από τις πρώτες συστηματικές γεωμετρικές πραγματείες
Αρχιμήδης
υπολόγισε εμβαδά και όγκους με τη μέθοδο της εξάντλησης
Απολλώνιος
ανέπτυξε τη θεωρία των κωνικών τομών
Ντεκάρτ
εισήγαγε τη μέθοδο των συντεταγμένων τον 17ο αιώνα
Λομπατσέφσκι
κατασκεύασε μη Ευκλείδεια Γεωμετρία αρνούμενος το πέμπτο αίτημα (1829)
Μπόλυαϊ
ανακάλυψε ανεξάρτητα τη μη Ευκλείδεια Γεωμετρία (1832)
Ρήμαν
διατύπωσε τη γενική έννοια του μαθηματικού χώρου (1854)
Σε τι διαφέρει η Ευκλείδεια Γεωμετρία από όσα κάναμε στο Γυμνάσιο;
Στο Γυμνάσιο βρίσκαμε ιδιότητες των σχημάτων με μετρήσεις, με χάρακα και μοιρογνωμόνιο, που είναι πάντα προσεγγιστικές. Η Ευκλείδεια ή θεωρητική Γεωμετρία στηρίζει κάθε συμπέρασμα σε λογικό συλλογισμό, ξεκινώντας από λίγες πρώτες αρχές, ώστε να ισχύει γενικά.
Τι είναι αξίωμα;
Αξίωμα είναι ένας ισχυρισμός που δεχόμαστε ως αληθή χωρίς απόδειξη, όπως ότι από δύο σημεία περνά μία μόνο ευθεία. Τα αξιώματα δεν αποδεικνύονται αλλά επιλέγονται, και από αυτά εξάγονται με απόδειξη τα θεωρήματα.
Τι είναι η μη Ευκλείδεια Γεωμετρία;
Είναι γεωμετρία που δεν δέχεται το πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη, των παραλλήλων. Την ανακάλυψαν ο Λομπατσέφσκι (1829) και ο Μπόλυαϊ (1832) και έδειξε ότι μπορούν να υπάρξουν λογικά άψογα συστήματα διαφορετικά από το ευκλείδειο.
Ανοίγει το μενού κοινοποίησης του κινητού σου. Αν δεν υπάρχει, αντιγράφεται ο σύνδεσμος.
Νέα από το aporia.gr Νέες ενότητες και ό,τι βρίσκουμε στα θέματα των Πανελληνίων, στη σελίδα μας στο Facebook.