Το κεφάλαιο μελετά τρεις βασικές συναρτήσεις, την f(x) = αx², την f(x) = α/x και την f(x) = αx² + βx + γ: μονοτονία, ακρότατα, συμμετρίες και σχήμα της γραφικής τους παράστασης, παραβολή ή υπερβολή.
Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥΑΛΓΕΒΡΑΕΝΟΤΗΤΑ 715 ΛΕΠΤΑ
Το μάθημα είναι στο σχολικό βιβλίο. Δεν το αντιγράφουμε εδώ. Άνοιξε το επίσημο
κεφάλαιο και γύρνα για την εξάσκηση.
Η σύνοψη, οι όροι και οι ασκήσεις γράφτηκαν με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης από το
σχολικό βιβλίο και μπορεί να έχουν λάθη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο: ό,τι σου φαίνεται περίεργο,
έλεγξέ το εκεί. Βρήκες λάθος; Γράψε μας στο aporia@signmak.com.
Σχεδιάγραμμα
Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.
Τι έγινε
Η g(x) = x² είναι άρτια· φθίνει γνησίως στο (−∞, 0], αυξάνεται γνησίως στο [0, +∞), με ελάχιστο g(0) = 0. Η h(x) = −x² είναι η συμμετρική της ως προς τον x′x και έχει μέγιστο 0.
Η f(x) = αx² (α ≠ 0) έχει γραφική παράσταση παραβολή με κορυφή Ο και άξονα συμμετρίας τον y′y· ανοίγει προς τα πάνω αν α > 0 και προς τα κάτω αν α < 0, και κλείνει όσο μεγαλώνει το |α|.
Η g(x) = 1/x ορίζεται στο ℝ* και είναι περιττή· φθίνει γνησίως στο (−∞, 0) και χωριστά στο (0, +∞), με κλάδους στο 1ο και στο 3ο τεταρτημόριο.
Η γραφική παράσταση της f(x) = α/x (α ≠ 0) λέγεται ισοσκελής υπερβολή: έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο, άξονες συμμετρίας τις y = x και y = −x, και ασύμπτωτες τους δύο άξονες.
Για α < 0 η α/x συμπεριφέρεται όπως η −1/x: γνησίως αύξουσα σε κάθε διάστημα, με κλάδους στο 2ο και στο 4ο τεταρτημόριο.
Η f(x) = αx² + βx + γ γράφεται α(x + β/2α)² − Δ/4α, άρα η γραφική της παράσταση προκύπτει από την y = αx² με μια οριζόντια και μια κατακόρυφη μετατόπιση, ώστε η κορυφή να πάει στο K(−β/2α, −Δ/4α).
Αν α > 0 η f είναι φθίνουσα ως το −β/2α και αύξουσα μετά, με ελάχιστο −Δ/4α· αν α < 0 ισχύουν τα αντίθετα και έχει μέγιστο −Δ/4α. Η παραβολή τέμνει τον x′x σε δύο σημεία (Δ > 0), εφάπτεται σε αυτόν (Δ = 0) ή δεν τον συναντά (Δ < 0).
Είναι παραβολή· η κορυφή της είναι το Ο(0, 0) και άξονας συμμετρίας της ο y′y. Αν α > 0 ανοίγει προς τα πάνω και έχει ελάχιστο 0 στο x = 0· αν α < 0 ανοίγει προς τα κάτω και έχει μέγιστο 0. Όσο μεγαλώνει το |α|, τόσο πιο «κλειστή» γίνεται.
Τι είναι οι ασύμπτωτες της υπερβολής y = α/x;
Είναι ευθείες που η καμπύλη πλησιάζει όλο και περισσότερο χωρίς να τις συναντά. Για την y = α/x είναι ο άξονας x′x (οριζόντια ασύμπτωτη) και ο άξονας y′y (κατακόρυφη ασύμπτωτη).
Πού βρίσκεται η κορυφή της παραβολής y = αx² + βx + γ;
Στο σημείο K(−β/2α, −Δ/4α). Εκεί η συνάρτηση έχει ελάχιστο αν α > 0 ή μέγιστο αν α < 0. Η παραβολή τέμνει τον y′y στο (0, γ) και τον x′x σε δύο, ένα ή κανένα σημείο, ανάλογα με το αν Δ > 0, Δ = 0 ή Δ < 0.
Ανοίγει το μενού κοινοποίησης του κινητού σου. Αν δεν υπάρχει, αντιγράφεται ο σύνδεσμος.
Νέα από το aporia.gr Νέες ενότητες και ό,τι βρίσκουμε στα θέματα των Πανελληνίων, στη σελίδα μας στο Facebook.