Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Συνάρτηση από το Α στο Β αντιστοιχίζει κάθε x του Α σε ένα ακριβώς y = f(x). Όταν δίνεται μόνο ο τύπος, πεδίο ορισμού θεωρείται το ευρύτερο υποσύνολο του ℝ όπου ο τύπος έχει νόημα.
2. Σε καρτεσιανό σύστημα Oxy κάθε σημείο έχει τετμημένη και τεταγμένη. Η απόσταση δύο σημείων είναι (AB) = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) και ο κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ έχει εξίσωση x² + y² = ρ².
3. Γραφική παράσταση της f είναι το σύνολο των σημείων (x, f(x)). Κάθε κατακόρυφη ευθεία την τέμνει το πολύ σε ένα σημείο· η γραφική παράσταση της −f είναι η συμμετρική της ως προς τον x′x.
4. Η f(x) = αx + β έχει γραφική παράσταση ευθεία με κλίση α = εφω που τέμνει τον y′y στο (0, β). Η κλίση βρίσκεται και από δύο σημεία: α = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Με α = 0 έχουμε σταθερή συνάρτηση.
5. Ευθείες με ίδια κλίση και διαφορετικό β είναι παράλληλες, με ίδια κλίση και ίδιο β ταυτίζονται, με διαφορετική κλίση τέμνονται. Η y = x και η y = −x διχοτομούν τις γωνίες των αξόνων και η γραφική παράσταση της |x| αποτελείται από δύο τέτοιες ημιευθείες.
6. Μετατοπίσεις: η φ(x) + c ανεβαίνει και η φ(x) − c κατεβαίνει κατά c μονάδες· η φ(x − c) πάει c μονάδες δεξιά και η φ(x + c) c μονάδες αριστερά (c > 0).
7. Η f είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ όταν x₁ < x₂ δίνει f(x₁) < f(x₂), και γνησίως φθίνουσα όταν δίνει f(x₁) > f(x₂). Έχει ολικό ελάχιστο στο x₀ όταν f(x) ≥ f(x₀) για κάθε x, και ολικό μέγιστο όταν f(x) ≤ f(x₀).
8. Άρτια: f(−x) = f(x), συμμετρία ως προς τον y′y. Περιττή: f(−x) = −f(x), συμμετρία ως προς την αρχή Ο.

Πρόσωπα

Descartes (Καρτέσιος)

εισήγαγε τις συντεταγμένες και την περιγραφή καμπυλών με εξισώσεις· το βιβλίο του του 1637 γέννησε την Αναλυτική Γεωμετρία

Fermat

ανέπτυξε παράλληλα τις ίδιες ιδέες για τις συντεταγμένες και διατύπωσε το «τελευταίο θεώρημα του Fermat»

A. Wiles

απέδειξε το τελευταίο θεώρημα του Fermat το 1994

Όροι

συνάρτηση

κάθε x του Α σε ένα ακριβώς y του Β

πεδίο ορισμού

το σύνολο Α όπου ορίζεται η f

σύνολο τιμών f(A)

όλες οι τιμές f(x) για x στο Α

ανεξάρτητη μεταβλητή

το x του πεδίου ορισμού

τετμημένη / τεταγμένη

η πρώτη / η δεύτερη συντεταγμένη

απόσταση σημείων

(AB) = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

εξίσωση κύκλου C(O, ρ)

x² + y² = ρ²

γραφική παράσταση Cf

τα σημεία M(x, y) με y = f(x)

κριτήριο κατακόρυφης

τέμνει την Cf το πολύ σε ένα σημείο

συντελεστής διεύθυνσης

κλίση λ = εφω της ευθείας

κλίση από δύο σημεία

α = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)

σταθερή συνάρτηση

f(x) = β, ίδια τιμή για κάθε x

παράλληλες ευθείες

α₁ = α₂ και β₁ ≠ β₂

κατακόρυφη μετατόπιση

φ(x) ± c: c μονάδες πάνω ή κάτω

οριζόντια μετατόπιση

φ(x − c): c μονάδες δεξιά

γνησίως αύξουσα

x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)

γνησίως φθίνουσα

x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂)

ολικό ελάχιστο στο x₀

f(x) ≥ f(x₀) για κάθε x

άρτια συνάρτηση

f(−x) = f(x), συμμετρική ως προς y′y

περιττή συνάρτηση

f(−x) = −f(x), συμμετρική ως προς Ο