Το κεφάλαιο ορίζει την ακολουθία πραγματικών αριθμών και μελετά την αριθμητική και τη γεωμετρική πρόοδο: γενικό όρο, μέσο και άθροισμα όρων, με εφαρμογή στον ανατοκισμό.
Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥΑΛΓΕΒΡΑΕΝΟΤΗΤΑ 515 ΛΕΠΤΑ
Το μάθημα είναι στο σχολικό βιβλίο. Δεν το αντιγράφουμε εδώ. Άνοιξε το επίσημο
κεφάλαιο και γύρνα για την εξάσκηση.
Η σύνοψη, οι όροι και οι ασκήσεις γράφτηκαν με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης από το
σχολικό βιβλίο και μπορεί να έχουν λάθη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο: ό,τι σου φαίνεται περίεργο,
έλεγξέ το εκεί. Βρήκες λάθος; Γράψε μας στο aporia@signmak.com.
Σχεδιάγραμμα
Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.
Τι έγινε
Ακολουθία είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών 1, 2, 3, … στους πραγματικούς· ο αριθμός που αντιστοιχεί στο ν είναι ο ν-οστός ή γενικός όρος αν.
Μια ακολουθία μπορεί να ορίζεται αναδρομικά: δίνονται οι αρχικοί όροι και ένας τύπος που βγάζει κάθε όρο από τους προηγούμενους, όπως στην ακολουθία Fibonacci, όπου α₁ = α₂ = 1 και αν+2 = αν+1 + αν.
Αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω: αν+1 = αν + ω. Ο γενικός της όρος είναι αν = α₁ + (ν − 1)ω.
Τρεις αριθμοί ανήκουν με τη σειρά σε αριθμητική πρόοδο ακριβώς όταν ο μεσαίος ισούται με το ημιάθροισμα των άλλων δύο, β = (α + γ)/2 (αριθμητικός μέσος). Το άθροισμα των ν πρώτων όρων είναι Sν = ν(α₁ + αν)/2.
Γεωμετρική πρόοδος με λόγο λ ≠ 0 και α₁ ≠ 0: αν+1 = αν · λ. Ο γενικός της όρος είναι αν = α₁ · λ^(ν−1).
Τρεις μη μηδενικοί αριθμοί ανήκουν με τη σειρά σε γεωμετρική πρόοδο ακριβώς όταν β² = αγ· ο θετικός √(αγ) λέγεται γεωμετρικός μέσος. Για λ ≠ 1, Sν = α₁(λ^ν − 1)/(λ − 1).
Ανατοκισμός: κεφάλαιο α με επιτόκιο ε% γίνεται μετά από ν χρόνια α(1 + τ)^ν, όπου τ = ε/100. Στις ίσες καταθέσεις α στην αρχή κάθε χρόνου, το ποσό μετά από ν χρόνια είναι α(1 + τ)[(1 + τ)^ν − 1]/τ.
Πρόσωπα
Fibonacci
δίνει το όνομά του στην ακολουθία 1, 1, 2, 3, 5, 8, … που ορίζεται αναδρομικά
Ποια είναι η διαφορά αριθμητικής και γεωμετρικής προόδου;
Στην αριθμητική πρόοδο κάθε όρος βγαίνει από τον προηγούμενο προσθέτοντας τον ίδιο αριθμό ω (τη διαφορά). Στη γεωμετρική βγαίνει πολλαπλασιάζοντας με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό λ (τον λόγο).
Πώς βρίσκουμε τον ν-οστό όρο μιας προόδου;
Στην αριθμητική πρόοδο αν = α₁ + (ν − 1)ω, και στη γεωμετρική αν = α₁ · λ^(ν−1). Χρειαζόμαστε μόνο τον πρώτο όρο και τη διαφορά ή τον λόγο.
Πώς υπολογίζεται το άθροισμα των ν πρώτων όρων;
Στην αριθμητική πρόοδο Sν = ν(α₁ + αν)/2, ή Sν = ν[2α₁ + (ν − 1)ω]/2. Στη γεωμετρική με λ ≠ 1, Sν = α₁(λ^ν − 1)/(λ − 1)· αν λ = 1, Sν = ν · α₁.
Ανοίγει το μενού κοινοποίησης του κινητού σου. Αν δεν υπάρχει, αντιγράφεται ο σύνδεσμος.
Νέα από το aporia.gr Νέες ενότητες και ό,τι βρίσκουμε στα θέματα των Πανελληνίων, στη σελίδα μας στο Facebook.