απορία; ΟΤΑΝ ΕΧΕΙΣ ΑΠΟΡΙΑ
4

Ανισώσεις

Το κεφάλαιο λύνει ανισώσεις πρώτου βαθμού, και με απόλυτες τιμές, μελετά το πρόσημο του τριωνύμου για να λύσει ανισώσεις δευτέρου βαθμού και τελειώνει με ανισώσεις γινόμενο και πηλίκο.

Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 415 ΛΕΠΤΑ

Το μάθημα είναι στο σχολικό βιβλίο. Δεν το αντιγράφουμε εδώ. Άνοιξε το επίσημο κεφάλαιο και γύρνα για την εξάσκηση.

Άνοιγμα βιβλίου

Η σύνοψη, οι όροι και οι ασκήσεις γράφτηκαν με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης από το σχολικό βιβλίο και μπορεί να έχουν λάθη. Πηγή είναι πάντα το βιβλίο: ό,τι σου φαίνεται περίεργο, έλεγξέ το εκεί. Βρήκες λάθος; Γράψε μας στο aporia@signmak.com.

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

  1. Η αx + β > 0 γράφεται αx > −β. Αν α > 0 δίνει x > −β/α, αν α < 0 δίνει x < −β/α (αλλάζει η φορά). Αν α = 0 αληθεύει για κάθε x ή είναι αδύνατη, ανάλογα με το πρόσημο του β.
  2. Για δύο ή περισσότερες ανισώσεις μαζί βρίσκουμε τις κοινές τους λύσεις, δηλαδή τα x για τα οποία συναληθεύουν.
  3. Ανισώσεις με απόλυτες τιμές: |x − x₀| < ρ σημαίνει x₀ − ρ < x < x₀ + ρ, ενώ |x| > ρ σημαίνει x < −ρ ή x > ρ.
  4. Τριώνυμο είναι η παράσταση αx² + βx + γ με α ≠ 0. Αν Δ > 0 γράφεται α(x − x₁)(x − x₂), αν Δ = 0 γράφεται α(x + β/2α)², και αν Δ < 0 δεν αναλύεται σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων.
  5. Πρόσημο τριωνύμου: ετερόσημο του α μόνο όταν Δ > 0 και το x βρίσκεται ανάμεσα στις ρίζες· μηδέν στις ρίζες· ομόσημο του α σε όλες τις άλλες τιμές του x.
  6. Με τον πίνακα προσήμου λύνουμε ανισώσεις 2ου βαθμού, όπως αx² + βx + γ > 0 ή < 0.
  7. Ένα γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων και τριωνύμων μελετάται βρίσκοντας το πρόσημο κάθε παράγοντα χωριστά και συνδυάζοντάς τα σε έναν πίνακα.
  8. Πηλίκο και γινόμενο δύο αριθμών έχουν το ίδιο πρόσημο: η A(x)/B(x) > 0 λύνεται ως A(x)·B(x) > 0, και η A(x)/B(x) ≥ 0 απαιτεί επιπλέον B(x) ≠ 0.

Όροι

ανίσωση 1ου βαθμού
αx + β > 0 ή αx + β < 0
αx > −β με α > 0
x > −β/α
αx > −β με α < 0
x < −β/α (αλλάζει η φορά)
0x > −β
ισχύει για κάθε x αν β > 0, αλλιώς αδύνατη
συναληθεύουν
έχουν κοινές λύσεις
|x| < ρ
−ρ < x < ρ
|x − x₀| < ρ
x₀ − ρ < x < x₀ + ρ
|x| > ρ
x < −ρ ή x > ρ
τριώνυμο
αx² + βx + γ, με α ≠ 0
διακρίνουσα τριωνύμου
Δ = β² − 4αγ
τριώνυμο με Δ > 0
α(x − x₁)(x − x₂)
τριώνυμο με Δ = 0
α(x + β/2α)², τέλειο τετράγωνο επί α
τριώνυμο με Δ < 0
δεν αναλύεται σε γινόμενο παραγόντων
ετερόσημο του α
όταν Δ > 0 και x ανάμεσα στις ρίζες
ομόσημο του α
έξω από τις ρίζες, ή παντού αν Δ < 0
ανίσωση 2ου βαθμού
αx² + βx + γ > 0 ή < 0, με α ≠ 0
πίνακας προσήμου
δείχνει το πρόσημο κάθε παράγοντα
A(x)/B(x) > 0
A(x) · B(x) > 0
A(x)/B(x) ≥ 0
A(x) · B(x) ≥ 0 και B(x) ≠ 0

ΠΑΙΞΕ ΤΟΤηλεπαιχνίδι · Η Σκάλα · Η Τελεία · Κρεμάλα · Ζευγάρια · όλα με την ύλη αυτού του μαθήματος.

Εξάσκηση

Συχνές απορίες

Πότε αλλάζει η φορά μιας ανίσωσης;

Όταν διαιρούμε ή πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με αρνητικό αριθμό. Έτσι η αx > −β δίνει x > −β/α αν α > 0, αλλά x < −β/α αν α < 0.

Πώς βρίσκουμε το πρόσημο του τριωνύμου αx² + βx + γ;

Κοιτάμε τη διακρίνουσα. Αν Δ > 0, το τριώνυμο έχει αντίθετο πρόσημο από το α μόνο ανάμεσα στις ρίζες, μηδενίζεται στις ρίζες και είναι ομόσημο του α έξω από αυτές. Αν Δ = 0 ή Δ < 0, είναι ομόσημο του α παντού, εκτός από τη διπλή ρίζα όπου μηδενίζεται.

Πώς λύνεται μια ανίσωση με απόλυτη τιμή, όπως η |x − 2| < 3;

Χρησιμοποιούμε ότι |x| < ρ σημαίνει −ρ < x < ρ, και |x| > ρ σημαίνει x < −ρ ή x > ρ. Άρα η |x − 2| < 3 γίνεται −3 < x − 2 < 3, δηλαδή −1 < x < 5.

Ανοίγει το μενού κοινοποίησης του κινητού σου. Αν δεν υπάρχει, αντιγράφεται ο σύνδεσμος.

Νέα από το aporia.gr Νέες ενότητες και ό,τι βρίσκουμε στα θέματα των Πανελληνίων, στη σελίδα μας στο Facebook.

ΑκολούθησεΚοινοποίησε τη σελίδα