Εξισώσεις

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Η αx + β = 0 γράφεται αx = −β. Με α ≠ 0 έχει μοναδική ρίζα x = −β/α· με α = 0 είναι αδύνατη (β ≠ 0) ή ταυτότητα (β = 0).
2. Όταν οι συντελεστές περιέχουν παράμετρο, π.χ. λ, εξετάζουμε χωριστά τις τιμές της που μηδενίζουν τον συντελεστή του x και τις υπόλοιπες.
3. Εξισώσεις με κλάσματα ή απόλυτες τιμές ανάγονται σε πρωτοβάθμιες. Στις κλασματικές βάζουμε πρώτα περιορισμούς ώστε κανένας παρονομαστής να μη μηδενίζεται· η |f(x)| = |g(x)| σπάει σε f(x) = g(x) ή f(x) = −g(x).
4. Η xν = α με α > 0 έχει μία ρίζα ⁿ√α αν ν περιττός και δύο, ±ⁿ√α, αν ν άρτιος. Με α < 0 έχει μία ρίζα −ⁿ√|α| αν ν περιττός και καμία αν ν άρτιος.
5. Η αx² + βx + γ = 0 (α ≠ 0) λύνεται με συμπλήρωση τετραγώνου. Η διακρίνουσα Δ = β² − 4αγ δίνει δύο ρίζες (Δ > 0), μία διπλή (Δ = 0) ή καμία (Δ < 0).
6. Τύποι Vieta: S = x₁ + x₂ = −β/α και P = x₁x₂ = γ/α. Η εξίσωση με άθροισμα ριζών S και γινόμενο P είναι η x² − Sx + P = 0.
7. Εξισώσεις όπως η x² − 2|x| − 3 = 0 ή οι διτετράγωνες αx⁴ + βx² + γ = 0 λύνονται με βοηθητικό άγνωστο (ω = |x| ή ω = x²), κρατώντας μόνο τις δεκτές τιμές του.
8. Σε ένα πρόβλημα ελέγχουμε πάντα αν οι λύσεις που βρήκαμε είναι λογικές για την κατάσταση που περιγράφει.

Πρόσωπα

Sridhara

Ινδός μαθηματικός (περίπου 1025) στον οποίο αποδίδεται μέθοδος λύσης της δευτεροβάθμιας

Vieta

έδωσε τους τύπους για άθροισμα και γινόμενο ριζών και μέθοδο λύσης με αντικατάσταση

Thomas Harriot

έλυσε τη δευτεροβάθμια με παραγοντοποίηση

Cardano και Girard

πρότειναν τη χρήση αρνητικών και μιγαδικών ριζών

Όροι

εξίσωση 1ου βαθμού

αx + β = 0

ρίζα εξίσωσης

μια λύση της εξίσωσης

μοναδική λύση της αx + β = 0

x = −β/α, όταν α ≠ 0

αδύνατη εξίσωση

δεν έχει καμία λύση, π.χ. 0x = 3

ταυτότητα (0x = 0)

αληθεύει για κάθε πραγματικό x

παραμετρική εξίσωση

συντελεστές που εξαρτώνται από παράμετρο

|f(x)| = |g(x)|

f(x) = g(x) ή f(x) = −g(x)

xν = α, α > 0, ν περιττός

μία λύση: x = ⁿ√α

xν = α, α > 0, ν άρτιος

δύο λύσεις: x = ±ⁿ√α

xν = α, α < 0, ν περιττός

μία λύση: x = −ⁿ√|α|

xν = α, α < 0, ν άρτιος

αδύνατη

εξίσωση 2ου βαθμού

αx² + βx + γ = 0, με α ≠ 0

διακρίνουσα

Δ = β² − 4αγ

Δ > 0

δύο άνισες ρίζες x = (−β ± √Δ)/2α

Δ = 0

μία διπλή ρίζα x = −β/2α

Δ < 0

καμία πραγματική ρίζα

άθροισμα ριζών S

x₁ + x₂ = −β/α

γινόμενο ριζών P

x₁ · x₂ = γ/α

εξίσωση από S και P

x² − Sx + P = 0

διτετράγωνη εξίσωση

αx⁴ + βx² + γ = 0, με α ≠ 0