Το κεφάλαιο ξαναπιάνει τους πραγματικούς αριθμούς: πράξεις και ιδιότητες, δυνάμεις και ταυτότητες, διάταξη και διαστήματα, απόλυτη τιμή, ρίζες και δυνάμεις με ρητό εκθέτη, μαζί με βασικές μεθόδους απόδειξης.
Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥΑΛΓΕΒΡΑΕΝΟΤΗΤΑ 215 ΛΕΠΤΑ
Το μάθημα είναι στο σχολικό βιβλίο. Δεν το αντιγράφουμε εδώ. Άνοιξε το επίσημο
κεφάλαιο και γύρνα για την εξάσκηση.
Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη. Το βιβλίο δεν αντιγράφεται: άνοιξέ το παραπάνω.
Τι έγινε
Για πρόσθεση και πολλαπλασιασμό ισχύουν η αντιμεταθετική, η προσεταιριστική και η επιμεριστική ιδιότητα, το ουδέτερο στοιχείο και ο αντίθετος ή αντίστροφος. Η διαίρεση με το μηδέν δεν ορίζεται.
Οι δυνάμεις με ακέραιο εκθέτη έχουν γνωστές ιδιότητες, π.χ. α^κ · α^λ = α^(κ+λ), και οι αξιοσημείωτες ταυτότητες ισχύουν για όλες τις τιμές των μεταβλητών.
Μέθοδοι απόδειξης: ευθεία απόδειξη, αντιπαράδειγμα για να δείξουμε ότι κάτι δεν ισχύει πάντα, και απαγωγή σε άτοπο, με την οποία αποδεικνύεται ότι ο √2 είναι άρρητος.
Διάταξη: α > β σημαίνει α − β > 0. Όταν πολλαπλασιάζουμε μια ανισότητα με αρνητικό αριθμό, αλλάζει η φορά της.
Τα διαστήματα περιγράφουν σύνολα αριθμών ανάμεσα σε δύο άκρα ή προς το άπειρο, κλειστά, ανοικτά ή ημιανοικτά.
Η απόλυτη τιμή |α| είναι η απόσταση του α από το 0: ισούται με α αν α ≥ 0 και με −α αν α < 0. Ισχύουν |αβ| = |α||β| και |α + β| ≤ |α| + |β|.
Η ν-οστή ρίζα μη αρνητικού α είναι ο μη αρνητικός αριθμός που υψωμένος στη ν δίνει α. Με αυτή ορίζονται οι δυνάμεις με ρητό εκθέτη, α^(μ/ν) = ν-οστή ρίζα του α^μ.
Πρόσωπα
Πυθαγόρειοι
πίστευαν ότι η ουσία κάθε όντος ανάγεται σε φυσικούς αριθμούς· η ανακάλυψη των άρρητων τους κλόνισε
Εύδοξος
ξεπέρασε τις δυσκολίες των άρρητων αριθμών με τη «θεωρία των Λόγων»
Όροι
ρητός αριθμός
αριθμός που γράφεται ως κλάσμα α/β, με α, β ακέραιους και β ≠ 0
άρρητος αριθμός
αριθμός που δεν γράφεται ως κλάσμα ακεραίων, όπως οι √2 και π
ταυτότητα
ισότητα με μεταβλητές που επαληθεύεται για όλες τις τιμές τους
αντιπαράδειγμα
ένα παράδειγμα που δείχνει ότι ένας ισχυρισμός δεν ισχύει πάντα
απαγωγή σε άτοπο
απόδειξη όπου υποθέτουμε το αντίθετο και καταλήγουμε σε αντίφαση
κλειστό διάστημα [α, β]
οι αριθμοί x με α ≤ x ≤ β, μαζί με τα άκρα
ανοικτό διάστημα (α, β)
οι αριθμοί x με α < x < β, χωρίς τα άκρα
απόλυτη τιμή |α|
η απόσταση του σημείου του α από την αρχή του άξονα
τετραγωνική ρίζα √α
ο μη αρνητικός αριθμός που υψωμένος στο τετράγωνο δίνει α (α ≥ 0)
κυβική ρίζα
η τρίτη ρίζα ενός αριθμού, π.χ. η τρίτη ρίζα του 64 είναι 4
Είναι οι ρητοί μαζί με τους άρρητους αριθμούς και παριστάνονται με τα σημεία ενός άξονα. Ρητός είναι όποιος γράφεται ως κλάσμα α/β με α, β ακέραιους και β ≠ 0· άρρητοι είναι αριθμοί όπως οι √2, √3 και π, που δεν γράφονται έτσι.
Πώς συμβολίζονται οι πραγματικοί αριθμοί και τα διαστήματα;
Το σύνολο των πραγματικών αριθμών συμβολίζεται με ℝ. Ένα διάστημα γράφεται με τα άκρα του, π.χ. [α, β] για α ≤ x ≤ β ή (α, +∞) για x > α.
Ποια είναι η διαφορά κλειστού και ανοικτού διαστήματος;
Το κλειστό διάστημα [α, β] περιέχει τα άκρα α και β, ενώ το ανοικτό (α, β) δεν τα περιέχει. Τα σύμβολα +∞ και −∞ δεν παριστάνουν πραγματικούς αριθμούς.
Ανοίγει το μενού κοινοποίησης του κινητού σου. Αν δεν υπάρχει, αντιγράφεται ο σύνδεσμος.
Νέα από το aporia.gr Νέες ενότητες και ό,τι βρίσκουμε στα θέματα των Πανελληνίων, στη σελίδα μας στο Facebook.