Πιθανότητες

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Πείραμα τύχης είναι εκείνο που δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμά του, παρότι γίνεται κάτω από τις ίδιες συνθήκες. Όλα τα πιθανά αποτελέσματα μαζί σχηματίζουν τον δειγματικό χώρο Ω.
2. Ενδεχόμενο είναι ένα υποσύνολο του Ω· πραγματοποιείται όταν το αποτέλεσμα ανήκει σε αυτό. Το Ω είναι το βέβαιο ενδεχόμενο και το ∅ το αδύνατο· με N(A) μετράμε τα στοιχεία του A.
3. Με τις πράξεις των συνόλων φτιάχνουμε νέα ενδεχόμενα: A ∩ B (συμβαίνουν και τα δύο), A ∪ B (συμβαίνει τουλάχιστον ένα), A′ (δεν συμβαίνει το A), A − B (συμβαίνει μόνο το A).
4. Σχετική συχνότητα ενός ενδεχομένου είναι ο λόγος κ/ν των φορών που συνέβη προς τις εκτελέσεις. Όσο μεγαλώνει το ν, σταθεροποιείται γύρω από έναν αριθμό, π.χ. 0,5 για την κεφαλή σε δίκαιο νόμισμα.
5. Κλασικός ορισμός (Laplace, 1812), για ισοπίθανα αποτελέσματα: P(A) = N(A)/N(Ω). Προκύπτουν P(Ω) = 1, P(∅) = 0 και 0 ≤ P(A) ≤ 1.
6. Αξιωματικός ορισμός: σε κάθε απλό ενδεχόμενο δίνουμε πιθανότητα από 0 έως 1, με άθροισμα 1, και η πιθανότητα ενός ενδεχομένου είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των στοιχείων του. Έτσι καλύπτονται και τα μη ισοπίθανα αποτελέσματα.
7. Κανόνες λογισμού: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) για ασυμβίβαστα, P(A′) = 1 − P(A), P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), αν A ⊆ B τότε P(A) ≤ P(B), και P(A − B) = P(A) − P(A ∩ B).

Πρόσωπα

Pascal και Fermat

με την αλληλογραφία τους τον 17ο αιώνα ώθησαν τη θεωρία των πιθανοτήτων

Laplace

διατύπωσε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας το 1812

Kolmogorov

ένας από τους μαθηματικούς που προώθησαν τη σύγχρονη θεωρία πιθανοτήτων

Όροι

πείραμα τύχης

το αποτέλεσμά του δεν προβλέπεται από πριν

δειγματικός χώρος Ω

το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων

ενδεχόμενο

υποσύνολο του δειγματικού χώρου

απλό ενδεχόμενο

ενδεχόμενο με ένα μόνο αποτέλεσμα

βέβαιο ενδεχόμενο

το Ω, που πραγματοποιείται πάντα

αδύνατο ενδεχόμενο

το ∅, που δεν πραγματοποιείται ποτέ

N(A)

το πλήθος των στοιχείων του A

A ∩ B

συμβαίνουν συγχρόνως το A και το B

A ∪ B

συμβαίνει τουλάχιστον ένα από A, B

A′ (συμπληρωματικό)

συμβαίνει όταν δεν συμβαίνει το A

A − B

συμβαίνει το A αλλά όχι το B

ασυμβίβαστα ενδεχόμενα

A ∩ B = ∅, δεν συμβαίνουν μαζί

σχετική συχνότητα

κ/ν: φορές που συνέβη προς εκτελέσεις

κλασικός ορισμός

P(A) = N(A)/N(Ω), για ισοπίθανα

όρια πιθανότητας

0 ≤ P(A) ≤ 1, P(∅) = 0, P(Ω) = 1

απλός προσθετικός νόμος

P(A ∪ B) = P(A) + P(B), αν ασυμβίβαστα

πιθανότητα του A′

P(A′) = 1 − P(A)

προσθετικός νόμος

P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)

A ⊆ B

τότε P(A) ≤ P(B)

P(A − B)

P(A) − P(A ∩ B)