Άρρητοι αριθμοί - Πραγματικοί αριθμοί

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Κατά τους Πυθαγορείους, κάθε δύο μεγέθη είχαν λόγο ίσο με λόγο φυσικών αριθμών.
2. Με το Πυθαγόρειο θεώρημα, η διαγώνιος τετραγώνου με πλευρά 1 cm είναι √2, που αποδεικνύεται ότι δεν είναι ρητός.
3. Άρρητος λέγεται κάθε αριθμός που δεν γράφεται στη μορφή μ/ν, με μ, ν ακέραιους και ν ≠ 0· ο Εύδοξος θεμελίωσε τη μελέτη τους.
4. Τον √2 τον προσεγγίζουμε μόνο: 1,4 < √2 < 1,5, πιο στενά 1,41 < √2 < 1,42 κ.ο.κ.· το κομπιουτεράκι δίνει 1,414213.
5. Άρρητος είναι και ο π, που δεν είναι ρίζα ρητού αριθμού.
6. Φυσικοί, ακέραιοι και ρητοί παριστάνονται με σημεία στην ευθεία· οι ρητοί τη γεμίζουν, αλλά όχι πλήρως.
7. Πραγματικοί αριθμοί είναι οι ρητοί μαζί με τους άρρητους· καλύπτουν πλήρως την ευθεία, τον άξονα των πραγματικών αριθμών.

Πρόσωπα

Πυθαγόρειοι

πίστευαν ότι κάθε λόγος μεγεθών είναι λόγος φυσικών αριθμών

Ίππασος ο Μεταπόντιος

κατά την παράδοση «αποκάλυψε» τον άρρητο √2, γύρω στο 450 π.Χ.

Εύδοξος ο Κνίδιος

(407 έως 354 π.Χ.) θεμελίωσε τη μελέτη των άρρητων αριθμών

Όροι

ρητός αριθμός

γράφεται μ/ν, μ ακέραιος, ν φυσικός ≠ 0

άρρητος αριθμός

δεν γράφεται ως κλάσμα μ/ν

√2

άρρητος, περίπου 1,414213

διαγώνιος τετραγώνου πλευράς 1

√2

1,4 < √2 < 1,5

γιατί 1,4² = 1,96 και 1,5² = 2,25

π

άρρητος από τη μέτρηση του κύκλου

φυσικοί αριθμοί

0, 1, 2, 3, ...

ακέραιοι αριθμοί

..., −2, −1, 0, 1, 2, ...

πραγματικοί αριθμοί

όλοι οι ρητοί και όλοι οι άρρητοι

άξονας πραγματικών αριθμών

ευθεία: κάθε σημείο ένας πραγματικός

ρητή προσέγγιση

δεκαδικός κοντά σε έναν άρρητο

πρώτη κρίση στα Μαθηματικά

η ανακάλυψη του άρρητου √2