Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Σχεδιάγραμμα

Δική μας σύνοψη της ενότητας, για επανάληψη, γραμμένη με τη βοήθεια τεχνητής νοημοσύνης. Μπορεί να έχει λάθη: πηγή είναι πάντα το βιβλίο.

Τι έγινε

1. Στην πρόσθεση οι αριθμοί λέγονται προσθετέοι και το αποτέλεσμα άθροισμα. Κάθε φορά προσθέτουμε δύο αριθμούς.
2. Ιδιότητες της πρόσθεσης: α + 0 = α, αντιμεταθετική α + β = β + α και προσεταιριστική (α + β) + γ = α + (β + γ).
3. Αφαίρεση: από τον μειωτέο Μ και τον αφαιρετέο Α βρίσκουμε τη διαφορά Δ, ώστε Δ + Α = Μ. Στους φυσικούς πρέπει ο Α να μην ξεπερνά τον Μ.
4. Στον πολλαπλασιασμό οι αριθμοί λέγονται παράγοντες και το αποτέλεσμα γινόμενο.
5. Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού: α · 1 = α, α · 0 = 0, αντιμεταθετική α · β = β · α και προσεταιριστική (α · β) · γ = α · (β · γ).
6. Επιμεριστική ιδιότητα: α · (β + γ) = α · β + α · γ και α · (β − γ) = α · β − α · γ. Γεωμετρικά, δύο ορθογώνια με κοινή πλευρά ενώνονται σε ένα με εμβαδόν το άθροισμα των εμβαδών.
7. Για να πολλαπλασιάσουμε με 10, 100, 1.000, γράφουμε δεξιά του αριθμού τα μηδενικά του 10, του 100 ή του 1.000.
8. Ιστορικά: οι πρώτοι αριθμοί καταγράφονταν με χαραγές σε ξύλα και κόκαλα ή με κόμπους σε σχοινί. Το μηδέν ως σύμβολο εμφανίστηκε πολύ αργότερα από τα άλλα ψηφία.

Πρόσωπα

Καρλ Φρίντριχ Γκάους (1777-1850)

ως μαθητής βρήκε γρήγορα το άθροισμα 1 + 2 + ... + 100 κάνοντας ζεύγη

Βραχμαγκούπτα

Ινδός μαθηματικός και αστρονόμος που το 628 μ.Χ. ονόμασε το μηδέν «το τίποτα»

Αλ-Χουαρίζμι (787-850 μ.Χ.)

Άραβας μαθηματικός που έγραψε για τη χρήση του μηδενός στο έργο «Αλγόριθμοι των Ινδικών αριθμών»

Κλαύδιος Πτολεμαίος (100-178 μ.Χ.)

κατά το βιβλίο, χρησιμοποίησε το 0 στην «Αλμαγέστη», από το αρχικό της λέξης «ουδέν»

Όροι

άθροισμα

το αποτέλεσμα της πρόσθεσης

προσθετέοι

οι αριθμοί που προσθέτουμε

α + 0 = α

το 0 δεν αλλάζει το άθροισμα

α + β = β + α

αντιμεταθετική ιδιότητα πρόσθεσης

(α + β) + γ = α + (β + γ)

προσεταιριστική ιδιότητα πρόσθεσης

μειωτέος

ο αριθμός από τον οποίο αφαιρούμε

αφαιρετέος

ο αριθμός που αφαιρούμε

διαφορά Δ

ο αριθμός με Δ + αφαιρετέος = μειωτέος

γινόμενο

το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού

παράγοντες

οι αριθμοί που πολλαπλασιάζουμε

α · 1 = α

το 1 δεν αλλάζει το γινόμενο

α · 0 = 0

κάθε αριθμός επί 0 δίνει 0

α · β = β · α

αντιμεταθετική ιδιότητα γινομένου

(α · β) · γ = α · (β · γ)

προσεταιριστική ιδιότητα γινομένου

α · (β + γ) = α · β + α · γ

επιμεριστική ως προς την πρόσθεση

α · (β − γ) = α · β − α · γ

επιμεριστική ως προς την αφαίρεση

πολλαπλασιασμός επί 10, 100, ...

προσθέτουμε τα μηδενικά στο τέλος

1 + 2 + ... + 100 (Γκάους)

50 ζεύγη με άθροισμα 101, άρα 5.050